Естественный трехгранник. Вычисление скорости и ускорения при естественном способе задания движения
Пусть точка движется по траектории , на которой установлена криволинейная система отсчета (Рис. 1.7).
В любой точке траектории существует единственная касательная. Обозначим единичный вектор касательной; направлен в сторону возрастания дуговой координаты. Нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью. Обозначим единичный вектор главной нормали; направлен в сторону вогнутости траектории. Нормаль, перпендикулярная соприкасающейся плоскости, называется бинормалью. Ее единичный вектор направлен так, чтобы векторы и образовывали правую тройку.
Рис. 1.7 |
Соприкасающаяся, нормальная и спрямляющая плоскости образуют естественный трехгранник. Касательная, главная нормаль и бинормаль – оси естественного трехгранника; – орты этих осей.
Оси естественного трехгранника играют существенную роль в описании движения точки, поскольку в этих осях вектор скорости и вектор ускорения вычисляются наиболее удобным образом. Разложение этих векторов по осям естественного трехгранника имеет вид:
(1.7)
(1.8)
|
|
где
– проекция вектора скорости на направление касательной к траектории;
– проекция вектора ускорения на направление касательной к траектории, ее называют касательным ускорением точки;
– проекция вектора ускорения точки на направление главной нормали к траектории точки, ее называют нормальным ускорением точки.
Не останавливаясь на выводе формул, приведём конечные результаты для векторов скорости и ускорения точки.
Проекция вектора скорости на направление касательной к траектории точки равна первой производной по времени от дуговой координаты:
(1.9)
Таким образом,
(1.10)
Касательное и нормальное ускорения точки определяются по формулам:
(1.11)
Таким образом, вектор ускорения точки в естественных осях представляется в виде:
(1.12)
|
|
Рис. 1.8 |
где – радиус кривизны траектории в точке . Не претендуя на строгость, попробуем пояснить это понятие. Среди линий постоянной кривизны особое место занимает окружность. Рассмотрим любую гладкую кривую (Рис. 1.8). Радиусом кривизны кривой в данной точке называется радиус окружности, дуга которой в малой окрестности точки совпадает с дугой заданной кривой. Заметим, что прямая также является кривой с постоянной кривизной. В каждой точке прямой радиус кривизны равен бесконечности ( ).
Как известно, производная по времени от какой-либо величины характеризует быстроту изменения со временем дифференцируемой величины. Ускорение характеризует изменение со временем вектора скорости. Вектор скорости может изменять со временем свой модуль и направление. Заметим, что касательное ускорение характеризует изменение модуля скорости, а нормальное – изменение направления скорости. Единственное движение, при котором ускорение точки равняется нулю это равномерное прямолинейное движение. При любом неравномерном движении отлично от нуля касательное ускорение; при любом криволинейном движении отлично от нуля нормальное ускорение.
|
|
КИНЕМАТИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА
Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 641; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!