Многошаговые методы интегрирования
Многошаговые методы используются при расчете нового вектора состояния несколько значений этого вектора в предыдущие моменты времени.
Методы, соответствующие формулам (3.10) и (3.11), называются
методами Адамса–Бишфорта.
Процесс можно продолжить, используя интерполяционный поли-
ном все более высокого порядка. При этом получаются все более гро-
моздкие формулы, но принцип остается тот же.
Многошаговые методы порождают проблему, которая не возникала
при использовании одношаговых методов. Проблема начального участка расчетов.Интегрирование начинается
с начального значения x0 , но при i =1 для счета, например, по формуле
(3.11) необходима информация о значении функции в точках t-2, t-3,
которая принципиально отсутствует. Обычный выход из положения состоит в использовании какого-либо одношагового метода того же порядка точности, пока не будет набрана необходимая информация.
Заметим также, что многошаговыми могут быть и неявные методы.
В этом случае в формулы входят значения xi+1, xi+2,..., которые могут быть определены только неявно и найдены в результате решения системы алгебраических уравнений. Методы этой группы обычно называются методами Адамса–Моултона.
На практике часто используют совместно явную и неявную формулы, что приводит к методам, известным как методы прогноза и коррекции [23].
Процедуры численного моделирования с автоматическим выбором шага
|
|
|
Выбор шага интегрирования связан с динамическими свойствами моделируемого объекта. Для явных методов он должен быть меньше минимальной постоянной времени объекта,с тем чтобы обеспечить устойчивость и позволить моделировать самые высокочастотные составляющие процесса. Неявные методы позволяют использовать больший шаг, но общий характер зависимости остается тем же самым. В то же время на интервале моделирования характер моделируемых процессов может меняться. Например, в большинстве реальных систем высокочастотные составляющие переходного процесса затухают быстрее, чем низкочастотные, и процесс со временем приобретает более плавный характер. Там, где решение меняется плавно, можно вести интегрирование с относительно большим шагом. В областях же, где решение изменяется резко, необходимо считать с маленьким шагом.
Два простых способа состоят либо в прохождении последнего шага интегрирования с половинным шагом и сравнении двух полученных результатов, либо в использовании двух методов интегрирования, имеющих разный порядок. Оба эти способа требуют дополнительных вычислений значений f .
Первый способ реализует правило Рунге [23, 29], при котором
|
|
|
ошибка дискретизации определяется по формуле
,где c – некоторая константа; xi (h / 2) – значение фазовой переменной x , полученной в точке ti тем же методом, что и xi (h) , но только за два шага интегрирования от точки ti-1, каждый из которых в два раза меньше обычного шага h ; p – порядок метода интегрирования.
Для метода Эйлера формула Рунге
Величина погрешности аппроксимации на каждом шаге 
не
должна превышать допускаемой погрешности eд . Обычно полагают,
что она составляет от 0,010 до 0,001 от текущего значения определяе-
мой фазовой координаты x .
При автоматическом выборе шага наиболее популярным является
алгоритм «трех зон» [29]:
Где m– коэффициент изменения шага, обычно равный 2, позволяющий дискретно менять шаг в процессе интегрирования. Другим вариантом является алгоритм плавного изменения шага интегрирования 1
где p – порядок метода интегрирования.
12.Механизмы продвижения модельного времени
Реальные мехатронные объекты являются динамическими системами. Они функционируют во времени, и ход времени необходимо моделировать так же, как и изменения всех остальных переменных.
Любой процесс моделирования на ЭВМ представляет собой взаимодействие трех видов времени:
|
|
|
● реального времени, к моментам которого привязаны события, происходящие в моделируемой системе;
● модельного времени, отсчитываемого программой моделирования и являющегося моделью реального времени;
● машинного времени, в котором функционирует аппаратная часть системы моделирования.
В процедурах моделирования наиболее важно управление модельным временем.Процессы, протекающие в моделях, должны адекватно отображать поведение моделируемых объектов: если события в реальной системе совпадают, то они должны совпадать и в модели, если реальные события следуют в определенном порядке, то он не должен нарушаться и в модели.
В имитационных моделях возможны следующие варианты течения модельного времени:
● модельное время может течь независимо от процессов в системе, как течет реальное время;
● модельное время может изменяться скачками (такой режим является идеализацией реальных процессов, цель которой – убрать из рассмотрения «пустые» периоды, когда в модели не происходят изменения);
● модельное время может многократно проходить один и тот же интервал, Существуют два основных способа продвижения модельного времени: «принцип Δt » и «принцип Δz » .
|
|
|
 |
Принцип Δt довольно прост. Модельное время течет малыми шагами Δt и может принимать только дискретные значения, кратные этому временному интервалу. Величина шага связана с динамическими особенностями моделируемого объекта. Она может меняться в процессе моделирования, однако напрямую не привязана к событиям, происходящим в моделируемой системе. На рис. 3.1 все события в модельном времени сдвинуты на конец такта. Кроме того, события E2,E3 , которые в реальном времени появляются последовательно, причем E2 является причиной E3 , в модели выглядят одновременными.
Метод Δt целесообразно использовать в следующих случаях:
● если моделируется непрерывная система, процессы в которой представляют собой непрерывную цепь равнозначных событий;
● если в моделируемой системе моменты появления событий связаны выполнением некоторых условий, касающихся значений переменных системы, в результате чего эти моменты невозможно заранее определить. Достоинства: простота. Недостатки: возможно искажение причинно-следственных связей, задержки в распространении сигналов.
Принцип Δz , называемый также принципом особых состояний. Как и в первом случае,модельное время меняется дискретно на величину Δz , однако эта величина не привязана к динамическим характеристикам объекта, а представляет собой временной интервал между последовательными событиями в системе. Величина Δz может иметь произвольное значение. Необходимым условием реализации моделирования по принципу Δz является разработка календаря событий .
Используется, если моделируемая система является принципиально дискретной, или моделируется режим, когда обработка модели должна быть связана с работой реального оборудования. В этом случае говорят, что имеет место моделирование в «режиме реального времени». используется в информационно-поисковых системах, актуально при полунатурном моделировании и использовании моделей в контуре управления реальными техническими системами.
Проблема в управлении модельным временем связана с тем, что многие технические системы имеют в своем составе компоненты, работающие одновременно, или, как обычно говорят, параллельно. Тогда приходится организовывать квазипараллельные модельные процессы. Одновременные события обрабатываются одно за другим при остановленном модельном времени. Время остается фиксированным до тех пор, пока не будут обработаны все события, привязанные к текущему моменту. В результате два одновременных события выполняются на ЭВМ последовательно, но в один и тот же момент модельного времени, т. е. одновременно с точки зрения системы.
Дата добавления: 2019-07-17; просмотров: 484; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!