Классификация методов математического моделирования применительно к этапу построения математической модели. Кибернетическое моделирование. Идентификация объекта.

Стр 1 из 9Следующая ⇒

Понятие моделирования как процесса. Понятие модели. Основные свойства модели. Адекватность модели. Три основных иерархических уровня моделирования (математического описания).

v Под моделированием будем понимать процесс, состоящий в выявлении основных свойств исследуемого объекта, построении моделей и их применении для прогнозирования поведения объекта.

Таким образом, моделирование включает в себя отображение проблемы из реального мира в мир моделей (процесс абстракции), анализ и оптимизацию модели, нахождение решения и отображение решения обратно в реальный мир.

Следует отметить, что в иностранной литературе процесс, определенный выше как моделирование, соответствует двум терминам:

● «мodeling» – относится, прежде всего, к процессу построения моделей объектов и систем;

● «simulation» – обозначает проведение компьютерного эксперимента с моделью (обычно численного), с визуализацией результатов этого эксперимента.

Модель – создаваемое человеком подобие изучаемых объектов: макеты, изображения, схемы, словесные описания, математические формулы, карты и т. д.

Модель является заменителем реального объекта, обладающим, по крайней мере, двумя следующими свойствами:

● она отражает те свойства объекта, которые существенны для данного исследования;

● она всегда проще объекта.

Адекватность

Проблема соответствия модели реальному объекту очень важна. Принято говорить, что модель адекватна оригиналу, если она верно отражает интересующие нас свойства оригинала и может быть использована для предсказания его поведения. При этом адекватность модели зависит от целей моделирования и принятых критериев. Например, модель, адекватная на этапе поискового проектирования, при детализации проекта теряет это свойство и становится слишком «грубой».

Приближенность модели к действительному объекту можно рассматривать в следующих аспектах:

● с точки зрения корректности связи «вход-выход»;

● с точки зрения корректности декомпозиции модельного описания применительно к целям исследования и использования моделей.

Степень соответствия моделей в первом случае принято называть собственно адекватностью, во втором – аутентичностью. В последнем случае требуется, чтобы все подмодели и их элементы были адекватны соответствующим прототипам реального объекта. Проблема аутентичности значительно сложнее адекватности и может рассматриваться лишь при получении математической модели классическим способом, т. е. «изнутри».

Можно выделить два способа оценки адекватности, один из которых используется, если есть возможность сравнить модель и объект, другой – если такой возможности нет.

Первый способ представляет собой разовую процедуру, основанную на сравнении данных, наблюдаемых на реальном объекте, с результатами вычислительного эксперимента, проведенного с моделью. Модель считается адекватной, если отражает исследуемые свойства с приемлемой точностью, где под точностью модели понимается количественный показатель, характеризующий степень различия модели и изучаемого явления.

Мера адекватности принципиально является векторной и взвешенной. Векторность связана с тем, что реальные объекты характеризуются не одним, а несколькими выходными показателями. Причем один и тот же выходной параметр модели может оказаться важным для одних применений модели и второстепенным для других.

Обычно погрешность модели e по всей совокупности m учитываемых выходных переменных оценивается одной из норм вектора e (e1=,e2,e3,...,em) :

где – относительная погрешность модели по -ой выходной переменной. Возможна также вариация данного подхода, когда объект заменяется эталонной моделью, заведомо более точной, чем исследуемая.

Второй способ представляет собой перманентную процедуру, основанную на использовании верификационного подхода, нацеленного на формирование определенного уровня доверия к модели. Такая процедура всегда используется, если нет возможности проверить модель экспериментально, например, объект находится в стадии проектирования либо эксперименты с объектом невозможны.

Процесс оценки достоверности имеет две стороны:

● приобретение уверенности в том, что модель ведет себя как реальная система;

● установление того, что выводы, полученные на ее основе, справедливы и корректны.

По сути, он сводится к обычному компромиссу между стоимостью проверки и последствиями ошибочных решений.

Для проверки модели могут использоваться разные приемы:

● проверка физического смысла (соблюдение физических законов);

● проверка размерности и знаков;

● проверка пределов;

● проверка тренда, т. е. тенденции изменения выходных переменных в зависимости от внутренних и внешних переменных, и т. п.

Количество иерархических уровней при моделировании определяется сложностью проектируемых объектов и возможностью средств проектирования. В зависимости от места в иерархии описания математические модели делятся на модели, относящиеся к микро-, макро- и мета уровням.

Особенностью ММ на микроуровне является отражение физических процессов, протекающих в непрерывном пространстве и времени. Типичные ММ на микроуровне – дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП). На макроуровне используют укрупненную дискретизацию пространства по функциональному признаку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). На мета уровне в качестве элементов принимают достаточно сложные совокупности деталей. Мета уровень характеризуется большим разнообразием типов используемых ММ.

2) Классификация методов моделирования по типу модели. Экспериментальный и расчетно-аналитический методы проведения исследований. Полунатурный эксперимент. Физическое моделирование. Достоинства и недостатки.

При полунатурном моделировании часть системы (обычно самая громоздкая, дорогая или опасная) заменяется моделью, которая стыкуется с реальным оборудованием (датчиками, средствами обработки информации, приводами, системой управления). Примером является исследование систем ориентации космических аппаратов на конечных этапах проектирования. На Земле невозможно создать условия невесомости, поэтому аппарат помещают на специальные имитационные стенды, обеспечивающие разгрузку несущих конструкций. Вся же остальная аппаратура реальная.

Достоинство метода заключается в высокой достоверности получаемых результатов. Недостатки – в ограничениях, накладываемых реальным оборудованием. Реальный объект может быть заменен как реальной физической моделью (и тогда чаще говорят о макетировании), так и математической или компьютерной.

Широко применяемое на практике физическое моделирование основано на использовании моделей той же физической природы, что и моделируемый объект, но с более удобными для экспериментирования параметрами: меньшими массой, габаритами и т. п. Оно применяется тогда, когда натурные испытания очень трудно или вообще невозможно осуществить, когда слишком велики/малы размеры натурного объекта или значения других его характеристик (давления, температуры, скорости протекания процесса и т. п.).

Физическое моделирование основано на свойствах подобия. Два явления физически подобны, если по заданным физическим характеристикам одного можно получить характеристики другого простым пересчетом, который аналогичен переходу от одной системы координат к другой.

Примером физического моделирования является применение аэродинамических труб для продувки уменьшенных копий самолетов или автомобилей. Достоинство этого метода, прежде всего, в том, что физическую модель зачастую сделать гораздо проще, чем создать ее математическое описание.

Недостатки данного метода заключаются в его относительной дороговизне, сложности повторения экспериментов и сложности анализа результатов. Не всегда результаты, полученные на малой модели, легко и просто переносятся на реальный объект.

Использование моделей прямой аналогии основано на замене реального объекта моделью иной физической природы. В природе часто физически различные процессы описываются одними и теми же дифференциальными уравнениями или другого типа математическими моделями. Например, много общего имеют течение воды по трубам и ток в электрической цепи.

Их просто реализовать, процессы в них проходят быстро, легко могут быть повторены, зафиксированы регистрирующими приборами.

Методы моделирования на ЭВМ часто называют методами непрямой аналогии. Они делятся на методы моделирования на аналоговых вычислительных машинах (АВМ) и цифровых (ЦВМ). Во всех методах предполагается наличие исходной системы уравнений в той или иной форме. Это может быть система дифференциальных или логико-дифференциальных уравнений, описывающая весь объект, либо, например, описания отдельных компонентов и топология объекта.

Электронная модель имеет ту же топологию, что и исходная система. Достоинством моделирования на АВМ является то, что процессы здесь непрерывные, такие же, как в самом объекте. Если регулятор также непрерывный, то моделирование на АВМ может быть эффективным. Недостатки моделей на АВМ заключаются в сложности настройки и перестройки модели, в необходимости специальных мер для поддержания ее стабильности, а главное, в том, что вес и габариты модели пропорциональны ее сложности. К тому же, на аналоговых моделях сложно моделировать современные логико-динамические системы.

Указанных недостатков лишены методы моделирования на ЦВМ. Модель легко перестраивается. Реализация цифровых регуляторов также не представляет проблем. Основной недостаток цифровых моделей – необходимость реализации специальных алгоритмов численного интегрирования непрерывных процессов.

Возможен расчетно-аналитический метод моделирования, который состоит в получении математической модели и оперировании с ней. С точки зрения исследований систем его возможности ограничены простейшими объектами. Однако формирование математической модели является неотъемлемым элементом любого метода моделирования на ЭВМ.

Метод математического моделирования. Назначение и характеристики математических моделей. Формы представления математических моделей. Методы проверки адекватности математических моделей.

Введем общее понятие математического моделирования (ММ), понимая под ним все методы, основанные на построении и использовании различных форм математических моделей проектируемых объектов, независимо от того, как они реализуются. В этом случае методы непрямой аналогии и расчетно-аналитический метод являются методами ММ. При ММ описание системы производится в терминах некоторой математической теории, например, теории матриц, теории дифференциальных уравнений и т. д.

ММ основано на ограниченности числа фундаментальных законов природы и принципе подобия, означающем, что явления различной физической природы могут описываться одинаковыми математическими закономерностями.

Как и всякие модели, математические модели основаны на некотором упрощении, идеализации, отбрасывании факторов, которые для данной задачи или на данном этапе исследований представляются несущественными.

В зависимости от формы представления математические модели можно разделить на аналитические, структурные и алгоритмические.

Математическая модель всегда отражает только часть свойств реального объекта, определяемую целями моделирования. Например, специалиста, автоматизирующего технологический процесс, может интересовать кинематическая модель манипулятора, которая позволяет рассчитать объем зоны обслуживания и траектории перемещения рабочего органа манипулятора.

Естественно, что при построении модели стремятся как можно более точно отразить свойства объекта, чтобы модель верно отражала свойства моделируемого объекта в смысле, определенном целью моделирования. С другой стороны, чем проще математическая модель, тем легче ее исследовать и использовать при решении задач синтеза.

Характеристики мат. модели.

ЭкономичностьЭкономичность математических моделей определяется двумя основными факторами:

● затратами машинного времени на прогон модели;

● затратами оперативной памяти, необходимой для размещения модели. Особенно это актуально для систем реального времени, например, при использовании модели в контуре управления космического аппарата.

Универсальность Универсальность моделей определяет область их возможных применений. Можно строить отдельные модели для различных экспериментов.

Устойчивость При оценке адекватности модели может быть использовано лишь ограниченное подмножество всех возможных значений входных параметров (рабочей нагрузки и внешней среды).

Устойчивость модели – это ее способность сохранять адекватность при исследовании системы на всем возможном диапазоне рабочей нагрузки, а также при внесении изменений в конфигурацию системы. Универсальной процедуры проверки устойчивости модели не существует.

Чувствительность Обычно такую оценку проводят по каждому параметру отдельно. Основана она на том, что диапазон возможных изменений параметра известен. Данные, полученные при оценке чувствительности модели, могут быть использованы, в частности, при планировании экспериментов: большее внимание должно уделяться тем параметрам, по которым модель является более чувствительной.

Адекватность Проблема соответствия модели реальному объекту очень важна. Принято говорить, что модель адекватна оригиналу, если она верно отражает интересующие нас свойства оригинала и может быть использована для предсказания его поведения. При этом адекватность модели зависит от целей моделирования и принятых критериев.

Процесс оценки достоверности имеет две стороны:

● приобретение уверенности в том, что модель ведет себя как реальная система;

● установление того, что выводы, полученные на ее основе, справедливы и корректны.

По сути, он сводится к обычному компромиссу между стоимостью проверки и последствиями ошибочных решений.

Для проверки модели могут использоваться разные приемы:

● проверка физического смысла (соблюдение физических законов);

● проверка размерности и знаков;

● проверка пределов;

В зависимости от формы представления математические модели можно разделить на аналитические, структурные и алгоритмические.

Аналитические модели представляют собой отображение взаимосвязей между переменными объекта в виде дифференциальных, алгебраических или любых других систем математических уравнений. Такие модели обычно получают на основе физических законов.

Структурная модель представляет систему в виде совокупности элементов, а также совокупности необходимых и достаточных отношений между этими элементами и связей между системой и окружающей средой.

В простейшем случае с помощью структурной математической модели воспроизводится структура уравнений, описывающих поведение исследуемого объекта.

Алгоритмические модели воспроизводят пошаговый процесс численного решения уравнений, представляющих математическую модель исследуемого объекта, и обычно реализуются в форме программы для ЭВМ. Результаты исследования на алгоритмических моделях всегда являются приближенными.

Классификация методов математического моделирования применительно к этапу построения математической модели. Кибернетическое моделирование. Идентификация объекта.

В современной науке существуют два основных подхода к построению математических моделей систем. Первый из них - это широко распространенный классический подход, который базируется на раскрытии явлений, происходящих внутри рассматриваемой системы.

Построение модели начинается с использования основных физических законов (законов Ньютона, Максвелла или Кирхгофа, законов сохранения массы..) для описания исследуемого объекта, являющегося, например, механическим или электрическим. Из этих законов следуют различные соотношения между рассматриваемыми переменными и, в частности, связывающие их ОДУ, ДУЧП, разностные уравнения.

Второй подход, базируется на рассмотрении системы как некоторого объекта, у которого доступными для наблюдения являются только входные и выходные переменные. Данный подход часто называют кибернетическим моделированием, он сводит изучение системы к наблюдению ее реакций при известных воздействиях, поступающих на вход системы. Модель системы строится при этом как описание некоторого преобразователя вектора входных переменных в вектор выходных переменных. Такая кибернетическая модель сохраняет только подобие векторов входных и выходных переменных оригинала и модели, полностью игнорируя физический смысл и внутреннюю структуру объекта.

Основой кибернетического моделирования являются такие разделы математической теории систем, как методы идентификации объектов и методы реализации временных рядов.

Цель решения задач идентификации заключается в построении по входным и выходным сигналам изучаемой системы эквивалентной ей системы из заданного класса. Эквивалентность обычно понимается в смысле какого-либо критерия ошибки или функции потерь, являющейся функционалом от выхода объекта Y(t) и выхода модели Y_m (t), например:

E = J(Y(t) - Ym(t))²dt.

Говорят, что модели эквивалентны, если значения функций потерь для этих моделей одинаковы.

Идентификация предполагает как использование априорной информации, так и обработку данных измерений, полученных в результате экспериментов с системой. Обычно идентификация - многоэтапная процедура, состоящая из следующих основных шагов:

1) структурная идентификация, которая заключается в определении структуры математической модели на основе теоретических соображений,

2) параметрическая идентификация, включающая в себя проведение идентифицирующего эксперимента и определение оценок параметров модели по экспериментальным данным,

3) проверка адекватности - проверка качества модели в смысле выбранного критерия близости выходов модели и объекта.

В связи с тем, что реальные системы всегда зашумлены, идентификация относится к задачам приближенного моделирования.

Следует иметь в виду, что кибернетические модели не учитывают всего комплекса физических свойств элементов исследуемой технической системы, а лишь устанавливают обнаруживаемую в процессе эксперимента связь между отдельными параметрами системы, которые удается варьировать и/или измерять.

Кибернетические модели носят частный характер, в то время как физические законы отражают общие закономерности явлений и процессов, протекающих в технической системе.

Важно отметить также, что два указанных способа получения математических моделей - классический метод и метод кибернетического моделирования, - конечно же, не являются взаимоисключающими.

Дата добавления: 2019-07-17; просмотров: 672; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 4 5 6 7 8 9 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!