Отримані результати додали і в результаті вийшло 243. Знайти ці числа.
Розв'язок.
Якщо більше число 𝑥, а менше число 𝑦, то
Якщо рівняння помножити на 𝑦, а потім розкрити дужки і звести подібні доданки, то отримаємо:
Але 
Тому
Щоб 𝑥 було цілим числом, знаменник 
повинен бути одним із дільників числа 243 (тому що 𝑦 не може мати спільні множники із 𝑦+1). Знаючи, що 243= 
, можна зробити висновок, що 243 ділиться тільки на наступні числа, які є точними квадратами: 1, 
, 
. І так, повинно дорівнювати 1, або , звідки знаходимо 𝑦 (додатне), що дорівнює 8 або 2.
Тоді 𝑥 дорівнює
Тому шуканими числами будуть: 24 та 8 або 54 та 2.
Задача5.
Числа 46 та 96 мають цікаву властивість: їх добуток не міняється, якщо поміняти їх цифри місцями, тобто
Потрібно встановити, чи існують ще такі пари двозначних чисел з такою ж властивістю. Як знайти ці всі числа?
Розв'язок.
Позначимо цифри шуканих чисел через 𝑥 і 𝑦, 𝑧 і 𝑡, отримаємо рівняння:
Розкривши дужки та звівши подібні доданки отримуємо рівняння:
де 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 – цілі числа, менші 10. Для того щоб знайти розв’язки складаємо із 9 цифр всі пари з рівними добутками:
Всіх рівностей 9. Із кожної можна скласти одну або дві пари шуканих чисел. Наприклад, із рівності саємо один розв'язок:
Із рівності знаходимо два розв’язки:
Аналогічно знаходимо наступні 14 розв’язків:
|
|
|
Знаходження всіх цілих розв’язків діофантових рівнянь вищих порядків
Приклад 1.
Розв’язати в цілих числах рівняння
.
Розв'язок.
Розкладемо дане рівняння на множники таким чином:
оскільки розв’язками даного рівняння можуть бути лише цілі числа, то числа 
та 
також мають бути цілими. З останньої рівності бачимо, що добуток цих чисел дорівнює 3, тому можливі випадки:
Отже, для знаходження всіх цілих розв’язків даного рівняння треба розв’язати наступні системи рівнянь, тобто розглянути всі можливі випадки , коли добуток чисел 
рівний трьом.
Відповідь: (0, 0), (1, 
), ( 
), ( 
).
Приклад 2.
Розв’язати в цілих числах рівняння
.
Розв'язок.
Аналогічно до прикладу 1 розкладемо наше рівняння на множники і за таким же принципом розв’яжемо його.
Знаючи, що числа 
, 
цілі і в добутку дають 
, очевидно, що вони можуть набувати наступних значень:
Отже маємо такі системи рівнянь:
Відповідь: 
.
Приклад 3.
Розв’язати в цілих числах рівняння:
Розв'язок.
Перепишемо наше рівняння вигляді:
Тепер розв’яжемо дане рівняння, як квадратне відносно 𝑥:
|
|
|
Оскільки 
, маємо нерівність
Дискримінант набуватиме від’ємних значень при 
, тому 𝑦 належить проміжку 
. Враховуючи те, що 𝑦 є числом цілим, то він може набувати таких значень:
.
3наючи 𝑦, легко можемо знайти 𝑥:
при 𝑦=0, 
,
.
при 𝑦=1, 
0.
𝑥=0, 𝑥=2.
при 𝑦=2, 
𝑥=1, 𝑥=2.
Відповідь: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 2), (2, 1), (2, 2).
Приклад 4.
Знайти всі розв’язки рівняння в цілих числах:
Розв'язок.
Нехай 
, де 𝑥, 𝑦, 𝑧 – цілі числа. Тоді число 𝑥 парне. Після заміни 
отримаємо рівняння
Скоротимо на 2:
Очевидно, що 𝑦 парне число. Після заміни 
отримаємо рівняння:
Знову скоротимо на 2:
З останнього рівняння бачимо, що 𝑧 парне число. Після заміни 
, отримаємо рівняння:
Отримали рівняння, яке має такий же вигляд як і початкове рівняння. Тому знову за таким же алгоритмом можемо довести, що 
парні, і так далі. Але це можливо тільки в тому випадку, коли 
.
Отже, в цілих числах рівняння має єдиний розв'язок 
.
Приклад 5.
Знайти всі розв’язки рівняння 
в раціональних числах.
Розв'язок.
Очевидним є розв'язок 
, тому достатньо розглянути випадок, коли 
(випадок 
розглядується аналогічно).
|
|
|
Нехай 
, де 
– раціональне число. Тоді
тому 𝑘𝑦= 
, а значить 
Нехай 
– нескоротний дріб. Тоді
та 
.
Числа 𝑝 і 𝑝+𝑞 взаємно прості, тому число 𝑦 може бути раціональним тільки тому випадку, коли 𝑝= 
і 𝑝+𝑞= 
для деяких натуральних 𝑎 та 𝑏. Припустимо, що 
Тоді
Приходимо, до суперечності, так, як між числами та 
не може знаходитись число 
. Тому 𝑞=1. Для будь-якого натурального 𝑝 числа
та 
раціональні і являються розв’язками рівняння 
. Ці числа будуть цілими лише при 
. В цьому випадку 
Прик лад 6.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 119; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!