Має розв’язки в цілих числах.

Доведення.

Позначимо через М множину тих додатних цілих чисел 𝑏, для яких рівняння

=𝑏

Має розв’язки в цілих числах. Множина М, очевидно, не порожня, оскільки при заданих можна підібрати цілі значення , так щоб було додатним числом.

В множині М існує найменше число, яке ми позначимо через 𝑑 (𝑑 ). позначимо через , цілі числа такі, що

=𝑑.

Нехай =𝑏𝑞+𝑟, де ; тоді

Ми підібрали цілі значення: , такі, що = 𝑟, але , а 𝑑 – найменше додатне число в М, тобто 𝑟 не може бути додатним, 𝑟 .

Аналогічно отримуємо .

Ми бачимо, що 𝑑 – спільний дільник чисел . Отже, оскільки ( ) = 1, 1 , 𝑑 = 1, 1 , то рівняння (2) розв’язне в цілих числах. Теорему доведено.

Теорема 2

Нехай 𝑑 – найбільший спільний дільник коефіцієнтів . Діофантове рівняння

має розв’язки тоді і тільки тоді, коли 𝑏 . Кількість розв’язків такого рівняння дорівнює нулю, або нескінченності.

Доведення.

Доведемо послідовно три твердження теореми.

1) Нехай 𝑏 . Для рівняння

існують цілі числа: , які задовольняють його, тобто такі, що

Тоді

тобто

2) Нехай тепер . Тоді ліва частина рівняння (2) при будь-яких цілих значеннях ділиться на 𝑑, а права частина на 𝑑 не ділиться, так, що рівність (2) при цілих значеннях неможлива.

3) Якщо - набір чисел, які задовольняють рівняння (2), то, наприклад, всі набори при також задовольняють дане рівняння і, таким чином, у нас або взагалі не буде розв’язків , або їх буде безліч.

Якщо хоча б одна пара коефіцієнтів взаємно прості числа, то 𝑑 = 1, і рівняння (2) має нескінченну кількість розв’язків.

Приклад.

1. Діофантове рівняння не має розв’язків , бо у даному випадку 𝑑 = 3 і 100 не ділиться на 3.

2. Діофантове рівняння має нескінченну кількість розв’язків, оскільки 𝑑 = 1.

Теорема 3.

Якщо задовольняє конгруенцію

то є розв’язком діофантового рівняння

(4)

Доведення.

Із випливає, що - ціле число, і безпосередня підстановка показує, що

Теорема 4.

Нехай 𝑑 – найбільший спільний дільник чисел 𝑎 і 𝑏 , де і - деякий розв'язок діофантового рівняння:

Тоді множина розв’язків рівняння (4) в цілих числах співпадає з множиною пар чисел ( ), де , а 𝑡 – будь-яке ціле число.

Доведення.

Нехай - довільний розв'язок діофантового рівняння (4), тобто (5)

за умовою задовольняють рівняння (4), тобто

віднявши від рівності (5) останню рівність і поділивши все на 𝑑, отримаємо:

де і – цілі числа. Тоді , причому , маємо , , , де 𝑡 – деяке ціле число. Підставляючи знайдене значення в (5), отримаємо:

звідки .

Таким чином, будь-який розв'язок рівняння (4) буде мати вигляд:

, ,

де 𝑡 – деяке ціле число.

Обернене твердження також правильне. Нехай такий набір пар чисел, що

, .

Безпосередня перевірка показує, що

Тобто - розв'язок діофантового рівняння (4).

Зауваження.

Теорема правильнаі тоді, коли 𝑎 і 𝑏 дорівнюють нулю. Наприклад, при , тобто у випадку рівняння , отримуємо і при для 𝑦 існує єдине значення , а 𝑥 – довільне ціле. Будь-який розв'язок цього рівняння можна представити у вигляді , , і при будь-якому 𝑡 такі задовольняють рівняння .