Построение математической модели

 

Передаточная характеристика объекта представляет собой отношение выходной величины к входной величине.

Передаточная характеристика объекта второго порядка с запаздыванием отличается от характеристики первого порядка наличием в знаменателе дроби квадрата суммы:

 

 

После подстановки известных численных значений и всех преобразований, получим:

 

 

Приведем полученное выражение к нормальной системе дифференциальных уравнений первого порядка и построим математическую модель объекта на ЭВМ в системе MathCad.

Аналитическое решение

 

Для отыскания аналитического решения решим характеристическое уравнение:

 

0,931 р² + 1,93 р + 1 = 0                               (4.1)

 

 p₁ = -1,781; p₂ = - 0,290 - корни характеристического уравнения.

Ввиду того, что корни характеристического уравнения кратные подставим их в выражение вида:

 

u(t) = kx ^. [1 – [1 + p ^. (t – τ) ] ^. e ^{p(t – τ)} ]       (4.2)

 

где к – коэффициент передачи при 50% номинального режима

р – корни характеристического уравнения (4.3)

t – соответствующий момент времени

τ – время запаздывания

Подставляя соответствующие значения к, р, t, τ получим график переходного процесса в объекте.

Ввиду сложности расчеты производятся на ПЭВМ (см. распечатку)

 

Частотные характеристики

 

Частотные характеристики объекта связаны с его передаточной функцией следующим образом:

где к = к (50%) = 0.428- коэффициент передачи при 50%:

 

 

Т = 0.965- постоянная времени:

t = 0.715- время запаздывания.

е-τp = cos(w ^. t) - j ^. sin(w ^. t).

Заменив, в выражении для объекта второго порядка величину p на мнимую величину jw, получим комплексную функцию W(jw).

Преобразовав выражение (4.1) получим, что:

 

Обозначим в формуле (5.2) :

 

- Вещественная частотная

 

характеристика системы

 

 - мнимая частотная

частотная характеристика системы

Подставив R(w) и I(w) в уравнение (5.2):

W(jw) = R(w) + j .I(w)

 

Составим соотношения, связывающие между собой частотные характеристики :

где А(w) - амплитудно-частотная характеристика

L(w) - логарифмическая амплитудно-частотная характеристика.

F(w) - фазочастотная характеристика

По формулам (5.3) - (5.5) находим значения для построения частотных характеристик. Эти значения сведены в таблицу 5.1 стр. 30.

Ниже приведен расчет частотных характеристик объекта на ЭВМ в системе MathCAD . Расчет произведен в диапазоне частот 0...2 c^-1 для 100 точек. Также представлены графики при  следующих характеристик:

- амплитудно-частотной;

- логарифмической амплитудно-частотной;

- фазо-частотной;

- амплитудно-фазо-частотной.

 

Расчет расширенных частотных характеристик

 

При расчете расширенных частотных характеристик вместо замены  производят замену , где m=0,221 - степень колебательности системы. Введем обозначение:

 

где

 

 

Далее, аналогично обычным частотным характеристикам, задавшись рядом частот, подаваемых на вход объекта, производим расчет расширенной амплитудно-частотной характеристики по формуле:

 

 

Затем рассчитываем расширенную фазо-частотную характеристику по формуле:

 

.

 

Ниже приведен расчет расширенных частотных характеристик объекта на ЭВМ в системе MathCAD . Расчет произведен в диапазоне частот 0...2 c^-1 для 100 точек. Также представлены графики при  следующих характеристик:

- расширенной амплитудно-частотной;

- расширенной амплитудно-фазо-частотной.

 

 

---

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 217; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!