Знаходження рішень рівнянь трафіка
Позитивність рішення рівнянь трафіка для досить загальної моделі доведена в роботі [9].
Для знаходження рішень рівнянь трафіка складемо рівняння відносно 
. Для цього перетворимо формулу (3.1.12), перенесемо все в ліву частину й приведемо до загального знаменника
. (3.2.1)
Тому що 
, те формула (3.2.1) прийме наступний вид
. (3.2.2)
Підставляючи формулу (3.1.14) і (3.1.15) в (3.1.16) маємо
.
Приводимо до загального знаменника
. (3.2.3)
Підставимо формулу, отриману з формули (3.1.13) відрахуванням формули (3.1.12), одержимо 
, у формулу (3.2.3), одержимо
,
. (3.2.4)
Позначимо 
й 
, тоді
. (3.2.5)
Відповідно до формул (3.1.16) і (3.1.17)
. (3.2.6)
З огляду на формулу (3.2.6) і (3.2.5), одержимо
. (3.2.7)
Підставимо формули (3.2.5) і (3.2.6) у формулу (3.2.2), маємо
. (3.2.8)
Тому що 
, те формула (3.2.8) прийме наступний вид
.
Розкриваючи дужки й приводячи подібні члени, запишемо формулу (3.2.9) у вигляді
Таким чином, отримане рівняння (3.2.10) квадратне, тобто
, (3.2.11)
|
|
|
де коефіцієнти 
, з огляду на позначення 
й формулу (3.2.10), визначаються в такий спосіб
, (3.2.12)
, (3.2.13)
. (3.2.14)
Для рівняння (3.2.11) знайдемо дискримінант, з огляду на формули (3.2.12), (3.2.13), (3.2.14), маємо
.
Для одержання рішення рівняння (3.2.11) повинне виконаються наступна умова 
, а це можливо тоді, коли
.
Відповідно до формули 
, одержимо
,
тобто
. (3.2.15)
Відповідно до малюнка 3.1, формула (3.2.15) є умову ергодичності. Якщо ця умова не виконується, то немає стаціонарного розподілу.
З огляду на формули (3.2.12), (3.2.14), (3.2.15) одержимо, що 
, 
. Відповідно до зворотної теореми Вієта, якщо 
- корінь рівняння (3.2.11), те виконуються наступні співвідношення
Тому що 
, те одне з корінь позитивний і один негативний.
Таким чином, рівняння (3.2.11) має одне позитивне рішення. Тобто система рівнянь трафіка (3.1.12) - (3.1.17) має позитивне рішення.
Рівняння рівноваги
У відповідності, з малюнком 3.1 складемо рівняння рівноваги
(3.3.1)
.
Визначення виду стаціонарного розподілу
Стаціонарний розподіл представимо у формі добутку множників вузли, що характеризує; кожний множник є стаціонарний розподіл вузла, тобто
|
|
|
.
Стаціонарний розподіл 
вузла має вигляд
,
де
, 
.
Таким чином, стаціонарний розподіл має такий вигляд
. (3.4.1)
Позначимо через
, 
, .
Тоді в цих позначеннях формула (3.4.1) запишеться в наступному виді
. (3.4.2)
Підставляючи формулу (3.4.2) у рівняння рівноваги (3.3.1), одержимо
(3.4.3)
.
Розділимо обидві частини рівняння (3.4.3) на 
, одержимо
(3.4.4)
.
Через 
запишемо рівняння трафіка (3.1.12) – (3.1.17)
, (3.4.5)
, (3.4.6)
, (3.4.7)
, (3.4.8)
, (3.4.9)
. (3.4.10)
Тому що 
, ( 
), те одержимо наступні співвідношення
, (3.4.11)
, (3.4.12)
. (3.4.13)
|
|
|
Розглянемо всілякі випадки числа заявок у марковської моделі мережі із трьома вузлами й різнотипними заявками. Тобто наступні випадки
1) 
, 
, 
;
2) 
, , 
;
3) 
, 
, 
;
4) 
, 
, 
;
5) 
, 
, ;
6) 
, , 
;
7) 
, , 
;
8) 
, 
, ;
Підставляючи значення 
в рівняння (3.4.4), з огляду на рівняння (3.4.5) – (3.4.13), перевіримо, задовольняє стаціонарний розподіл (3.4.1) рівнянням рівноваги (3.3.1). Розглянемо кожний з випадків 1) - 8) окремо.
Розглянемо перший випадок 
, ,
.
Відповідно до формули (3.4.6) 
, формулі (3.4.8) 
, 
, формулі (3.4.10) 
, формулі (3.4.9) 
, одержимо
,
.
Відповідно до формули (3.4.5) 
, формулою (3.4.12) 
, формулою (3.4.13) 
. З формул (3.4.9), (3.4.10) 
, тоді маємо
,
.
Відповідно до формули (3.4.9) 
, формулі (3.4.10) 
. З формул (3.4.7) і (3.4.8) 
, одержимо
,
.
А це є формула (3.4.11), тобто випадок 1) виконується.
Розглянемо другий випадок , ,
,
Відповідно до формули (3.4.5) 
, формулі (3.4.6) 
, формулі (3.4.8) 
, 
, формулі (3.4.10) 
, формулі (3.4.10) 
. З формул (3.4.5) і (3.4.6) 
. Розкриємо дужки й перенесемо все в праву частину, одержимо
.
Відповідно до формули (3.4.13) 
, формулою (3.4.12). З формул (3.4.9), (3.4.10) 
, тоді
.
Відповідно до формули (3.4.11) 
, 
,формулі (3.4.12) 
. З формул (3.4.7) і (3.4.8) 
, одержимо
|
|
|
.
, тобто випадок 2) виконується.
Аналогічно виконуються 3) - 8).
Таким чином, випадки 1) – 8) перетворюються у вірну рівність. Тобто стаціонарний розподіл (3.4.1) є рішення рівняння рівноваги (3.3.1), якщо виконується умова ергодичності 
, 
.
Висновок
У роботі проведене дослідження відкритих марковских і полумарковских мереж масового обслуговування із трьома вузлами й циклічною маршрутизацією.
Отримано наступні основні результати:
Для марковської моделі мережі із трьома вузлами, записані рівняння рівноваги (формула 1.1.3), отримана достатня умова ергодичності (формула 1.3.1) і знайдена стаціонарний розподіл (формула 1.2.9).
Для полумарковської моделі мережі із трьома вузлами, визначений вид диференційно-різницевих рівнянь Колмогорова (формула 2.1.4), знайдений стаціонарний розподіл (формула 2.2.1) і доведена інваріантність (див. 2.3).
Для марковської моделі мережі із трьома вузлами й різнотипними заявками, складені рівняння рівноваги (формула 3.3.1), знайдений стаціонарний розподіл (формула 3.4.1) і отримана достатня умова ергодичності (формула 3.2.15).
Результати роботи можуть бути застосовані при проектуванні й експлуатації мереж передачі даних, інформаційно-обчислювальних мереж, мереж ЕОМ і багатьох інших технічних об'єктів.
Список використаних джерел
Малинковський Ю.В. Теорія масового обслуговування. – К., 2003
Буриков А.Д., Малинковський Ю.В., Маталицкий М.А. Теорія масового обслуговування. – К., 2004
Івченко Г.И., Каштанів В.А., Коваленко И.Н. Теорія масового обслуговування. – К., 2004
Прохоров А.В., Ушаков В.Г., Ушаков Н.Г. Задачі по теорії ймовірностей: Основні поняття. Граничні теореми. Випадкові процеси. – к., 2003
Кениг Д., Штоян Д. Методи теорії масового обслуговування// Під ред. Г.П. Климова. – К., 2001
Гнеденко Б.В., Коваленко І.М. Введення в теорію масового обслуговування. – К., 2003
Ширяев О.М. Імовірність. – К., 2005
Gelenbe E. Product Form Queueing Networks with Negative and Positive Customers // J. Appl. Probab. - 1991. - V. 28. - P. 656 - 663.
Gelenbe E., Shassberger R. Stability of Product-Form G-networks // Probab. in Eng. and Inform. Sci. - 1992. - No. 6. - P. 271 - 276.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 260; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!