Рівняння глобальної рівноваги



 

Припустимо, що існує стаціонарний розподіл. Складемо рівняння рівноваги для стаціонарних ймовірностей , які для мереж називаються глобальними рівняннями рівноваги (балансу).

Зі стану  мережа може вийти або за рахунок надходження заявки в неї (інтенсивність ), або за рахунок обслуговування заявки одним з вузлів, наприклад, - им (інтенсивність ). Тому інтенсивність виходу зі стану  для марковського процесу  дорівнює , де  - індикаторна функція множини . Отже, потік імовірності зі стану  дорівнює:

 

.             (1.1.1)

 

Увійти ж у стан  можна або зі стану , якщо в мережу надійде заявка, спрямована в перший вузол ( інтенсивність ), або зі стану , якщо заявка завершить обслуговування в другому вузлі й піде з мережі ( інтенсивність ), або, нарешті, зі станів , (  ,  ), якщо заявка завершить обслуговування на першому, (другому, третьому) вузлі й перейде відповідно в другий, ( третій, перший) (інтенсивність , (  , )). Тому потік імовірності в стан


.                                              (1.1.2)

 

Дорівнюючи потоки ймовірності зі стану  (формула 1.1.1) і в стан  (формула 1.1.2), одержуємо глобальні рівняння рівноваги

 

.                                              (1.1.3)

 

Відшукання стаціонарних ймовірностей

 

Складемо рівняння трафіка, використовуючи наступну формулу

 

,                                     (1.2.1)

,

 

де  - імовірності переходу.

Вирішимо отриману систему рівнянь


 

Таким чином, рівняння трафіка має єдине позитивне рішення , тобто . Позитивне в тому розумінні, що .

Розглянемо ізольований -й вузол, уважаючи, що на нього надходить найпростіший потік заявок інтенсивності  (див. малюнок 1.2.1).

                                         

Малюнок 1.2.1

 

Він представляє із себе систему, що відрізняється від  тільки тем, що інтенсивність обслуговування  залежить від числа заявок у ній , .

Знайдемо стаціонарний розподіл для такого ізольованого процесу. Граф переходів зобразиться в такий спосіб.

 

                       

 

Рівняння рівноваги для вертикальних перерізів мають вигляд ( на малюнку 1.2.2 воно зображено пунктирною лінією ).

 

, , ,

 

Тоді


.

 

З умови  знаходимо, що

 

.

 

Таким чином, , де  рівні

 

,                (1.2.2)

,                        (1.2.3)

.                    (1.2.4)

 

Стаціонарний розподіл  існує і єдино, якщо виконується умова ергодичності:

 

 і                 (1.2.5)

 

Теорема 1.2.1.( Розкладання Джексона) Нехай рівняння трафіка (1.2.1) має єдине позитивне рішення  й виконане умова ергодичності (1.2.5). Тоді фінальні стаціонарні ймовірності станів мережі Джексона мають вигляд


,                        (1.2.6)

 

де  визначаються по формулі

 

,                                         (1.2.7)

 

у якій  визначається формулою

 

.                                       (1.2.8)

 

Відповідно до теореми 1.2.1, стаціонарний розподіл представимо у формі добутку множників вузли, що характеризує; кожний множник є стаціонарний розподіл вузла, тобто

 

,

 

де  з формули (1.2.2),  з формули (1.2.3),  з формули (1.2.4). Таким чином, стаціонарний розподіл має такий вигляд

 

                                                                    (1.2.9)

=  .


Достатня умова ергодичності

 

Теорема 1.3.1 (Теорема Фостера).

Регулярна Марковська ланцюг з безперервним часом і рахунковим числом станів ергодична

 

 

має нетривіальне рішення  таке, що  При цьому існує єдиний стаціонарний розподіл, що збігається з ергодичним. [2, с. 8-14]

Ергодичність досліджуємо відповідно до теореми 1.3.1. Розглянемо умови теореми.

Регулярність треба з того, що .

 

,            ,            .

 

Відповідно до малюнка 1.1, одержимо:

 

,                   ,                 .

 

Таким чином, регулярність виконується.

Тому що всі стани повідомляються з нульовим, тобто в будь-який стан можна перейти з нульового  й у  можна перейти з будь-якого стану,шляхом надходження, обслуговування й відходу заявок з мережі.

Примітка – тут ураховується, що матриця переходів  неприводима.

Як нетривіальне рішення системи рівнянь із теореми 1.3.1 візьмемо . Тоді для ергодичності буде потрібно, щоб . Тоді одержимо,

 

,

 

де

 

,

Останній ряд сходиться по ознаці порівняння, якщо сходиться ряд

 

 (1.3.1)

 

Умова (1.3.1) і є шукана умова ергодичності. Якщо ця умова буде виконаються, то буде існувати єдиний стаціонарний розподіл, що збігається з ергодичним.

 


Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 331; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!