Рівняння глобальної рівноваги
Припустимо, що існує стаціонарний розподіл. Складемо рівняння рівноваги для стаціонарних ймовірностей , які для мереж називаються глобальними рівняннями рівноваги (балансу).
Зі стану мережа може вийти або за рахунок надходження заявки в неї (інтенсивність ), або за рахунок обслуговування заявки одним з вузлів, наприклад, - им (інтенсивність ). Тому інтенсивність виходу зі стану для марковського процесу дорівнює , де - індикаторна функція множини . Отже, потік імовірності зі стану дорівнює:
. (1.1.1)
Увійти ж у стан можна або зі стану , якщо в мережу надійде заявка, спрямована в перший вузол ( інтенсивність ), або зі стану , якщо заявка завершить обслуговування в другому вузлі й піде з мережі ( інтенсивність ), або, нарешті, зі станів , ( , ), якщо заявка завершить обслуговування на першому, (другому, третьому) вузлі й перейде відповідно в другий, ( третій, перший) (інтенсивність , ( , )). Тому потік імовірності в стан
. (1.1.2)
Дорівнюючи потоки ймовірності зі стану (формула 1.1.1) і в стан (формула 1.1.2), одержуємо глобальні рівняння рівноваги
. (1.1.3)
Відшукання стаціонарних ймовірностей
Складемо рівняння трафіка, використовуючи наступну формулу
, (1.2.1)
|
|
,
де - імовірності переходу.
Вирішимо отриману систему рівнянь
Таким чином, рівняння трафіка має єдине позитивне рішення , тобто . Позитивне в тому розумінні, що .
Розглянемо ізольований -й вузол, уважаючи, що на нього надходить найпростіший потік заявок інтенсивності (див. малюнок 1.2.1).
Малюнок 1.2.1
Він представляє із себе систему, що відрізняється від тільки тем, що інтенсивність обслуговування залежить від числа заявок у ній , .
Знайдемо стаціонарний розподіл для такого ізольованого процесу. Граф переходів зобразиться в такий спосіб.
Рівняння рівноваги для вертикальних перерізів мають вигляд ( на малюнку 1.2.2 воно зображено пунктирною лінією ).
, , ,
Тоді
.
З умови знаходимо, що
.
Таким чином, , де рівні
, (1.2.2)
, (1.2.3)
. (1.2.4)
Стаціонарний розподіл існує і єдино, якщо виконується умова ергодичності:
і (1.2.5)
Теорема 1.2.1.( Розкладання Джексона) Нехай рівняння трафіка (1.2.1) має єдине позитивне рішення й виконане умова ергодичності (1.2.5). Тоді фінальні стаціонарні ймовірності станів мережі Джексона мають вигляд
|
|
, (1.2.6)
де визначаються по формулі
, (1.2.7)
у якій визначається формулою
. (1.2.8)
Відповідно до теореми 1.2.1, стаціонарний розподіл представимо у формі добутку множників вузли, що характеризує; кожний множник є стаціонарний розподіл вузла, тобто
,
де з формули (1.2.2), з формули (1.2.3), з формули (1.2.4). Таким чином, стаціонарний розподіл має такий вигляд
(1.2.9)
= .
Достатня умова ергодичності
Теорема 1.3.1 (Теорема Фостера).
Регулярна Марковська ланцюг з безперервним часом і рахунковим числом станів ергодична
має нетривіальне рішення таке, що При цьому існує єдиний стаціонарний розподіл, що збігається з ергодичним. [2, с. 8-14]
Ергодичність досліджуємо відповідно до теореми 1.3.1. Розглянемо умови теореми.
Регулярність треба з того, що .
, , .
Відповідно до малюнка 1.1, одержимо:
, , .
|
|
Таким чином, регулярність виконується.
Тому що всі стани повідомляються з нульовим, тобто в будь-який стан можна перейти з нульового й у можна перейти з будь-якого стану,шляхом надходження, обслуговування й відходу заявок з мережі.
Примітка – тут ураховується, що матриця переходів неприводима.
Як нетривіальне рішення системи рівнянь із теореми 1.3.1 візьмемо . Тоді для ергодичності буде потрібно, щоб . Тоді одержимо,
,
де
,
Останній ряд сходиться по ознаці порівняння, якщо сходиться ряд
|
Умова (1.3.1) і є шукана умова ергодичності. Якщо ця умова буде виконаються, то буде існувати єдиний стаціонарний розподіл, що збігається з ергодичним.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 331; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!