ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГАРМОНИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНОЙ БЕЗЫНЕРЦИОННОЙ ЦЕПИ

⇐ ПредыдущаяСтр 15 из 22Следующая ⇒

Цель работы — исследование преобразования гармонического колебания в нелинейной безынерционной цепи и анализ такого преобразования с использованием кусочно-линейной аппроксимации вольт-амперной характеристики нелинейного элемента.

Теоретические сведения

Для преобразования и обработки сигналов наряду с линейными цепями широко применяются нелинейные цепи. Для линейных цепей справедлив принцип суперпозиции, который в общем виде математически выражается следующим образом:

L[s1(t) + s2(t) + … + sn(t)] = L[s1(t)] + L[s2(t)] + … + L[sn(t)], (9.1)

где L — оператор, характеризующий преобразование сигнала s(t) цепью.

Рис. 9.1

Радиотехническая цепь является нелинейной, если в ее состав входят один или несколько элементов, для которых соотношение (9.1) несправедливо, т. е. параметры которых, а следовательно, и вид оператора L зависят от уровня входного сигнала. Простейшим примером нелинейного элемента является полупроводниковый диод, типичная вольт-амперная характеристика (ВАХ) i = f(u) которого показана на рис. 9.1. Если предположить, что оператор L в формуле (9.1) выражает зависимость i = f(u), то очевидно, что это соотношение не будет выполняться: именно, напряжению u1 соответствует ток i1, напряжению u2 — ток i2, но соответствующий напряжению u3 = u1 + u2 ток i3 ¹ i1 + i2.

Различают резистивные (сопротивления) и реактивные (индуктивности и емкости) нелинейные элементы. Например, полупроводниковый диод при теоретическом анализе часто считают резистивным нелинейным элементом.

Здесь существенным является то обстоятельство, что ВАХ резистивного нелинейного элемента i = f(u) не содержит в явном виде времени. Физически это означает безынерционность резистивного нелинейного элемента, т. е. мгновенно следующее за изменением внешнего входного воздействия установление выходной реакции. Кроме диодов, к резистивным нелинейным элементам при анализе часто относят биполярные и полевые транзисторы, электровакуумные приборы (лампы) и т. д.

К инерционным нелинейным элементам относятся нелинейные реактивные элементы. Примером такого элемента служит варикап — специальный полупроводниковый диод, используемый как конденсатор с электрически управляемой емкостью. Связь между током и напряжением на нелинейной емкости выражается формулой

в которую время входит явно.

Эквивалентная схема любого полупроводникового или электровакуумного элемента содержит так называемые собственные (паразитные) емкости и индуктивности. Поэтому безынерционных нелинейных элементов, строго говоря, не существует. Это представление удобно для теоретического анализа преобразований радиосигналов в нелинейных цепях. Соответствие такой модели по своим свойствам реальному элементу определяется частотным диапазоном, в котором будет работать содержащее элемент анализируемое устройство. При этих условиях такие радиотехнические преобразования сигналов, как некоторые виды усиления, модуляцию, детектирование, преобразование частоты, генерацию, чаще всего считают безынерционными нелинейными.

Неприменимость принципа суперпозиции существенно усложняет анализ воздействия сигнала на нелинейную цепь, так как выходной сигнал не может быть представлен в виде суммы реакций на элементарные входные сигналы, как это делается при анализе воздействия сигнала на линейную цепь. В связи с этим, неправомерно вычисление спектра выходного сигнала по формуле или вычисление временного отклика с помощью интеграла Дюамеля.

Аппроксимация нелинейных характеристик. Теоретический анализ позволяет определить лишь общий вид ВАХ нелинейного элемента, и практическая ценность таких характеристик для исследования поведения реальных нелинейных элементов в радиотехнических схемах невелика; практически полезные ВАХ, как правило, получают экспериментально. Однако эксперимент дает, по существу, табличное представление характеристики, в то время как для анализа и расчетов необходимо аналитическое, в виде формулы, представление ВАХ. Используются различные способы аппроксимации — замены таблично (а иногда и аналитически) заданной характеристики функциями, приближенно отражающими поведение реальной ВАХ нелинейного двухполюсника в представляющем интерес диапазоне изменения аргумента. При выборе вида аппроксимирующих функций учитывают требуемую точность результата, пределы изменения входного воздействия и удобство выбранной функции для аналитических расчетов. Наиболее распространенными видами аппроксимации являются полиномиальная, кусочно-линейная и показательная. После решения задачи аппроксимации отклик нелинейной системы на заданное воздействие описывается нелинейным дифференциальным уравнением, которое решается аналитически или численно. В настоящей работе рассматривается и используется кусочно-линейная аппроксимация.

Кусочно-линейная аппроксимация. В некоторых случаях (например, если u изменяется в достаточно больших пределах) ВАХ нелинейного элемента аппроксимируют двумя или более отрезками прямых.

Рис. 9.2

Пример чаще всего встречающегося варианта кусочно-линейной аппроксимации ВАХ показан на рис. 9.2. Аппроксимирующее выражение записывается следующим образом:

(9.2)

Здесь константа S — крутизна линейной части аппроксимирующей функции, UН — координата «начала» линейно возрастающей ветви ВАХ (напряжение отсечки).

Воздействие гармонического колебания на безынерционный нелинейный элемент. Рассмотрим воздействие на нелинейный элемент гармонического колебания в сумме со «смещением», задающим рабочую точку:

u(t) = U0 + Um cos(w1t + j1). (9.3)

Обратимся к рис. 9.2, иллюстрирующему типичное взаимное расположение ВАХ и сигнала (9.3), начальную фазу которого примем равной нулю (j1 = 0). Ток в цепи появляется только при u ³ Uн и является периодической последовательностью импульсов:

(9.4)

Введенный в выражение (9.4) параметр q называется углом отсечки. Физический смысл угла отсечки иллюстрирует рис. 9.2 — очевидно, что по координате w1t (линейная текущая фаза) косинусоидальный импульс тока имеет длительность 2q. При w1t = 2kp ± q ток в цепи равен нулю; из уравнения

следуют часто используемые соотношения:

, (9.5)

i(t) = SUm(cos w1t – cos q). (9.6)

Максимального значения Im импульс тока достигает при w1t = 2kp, поэтому

Im = SUm(1 – cos q), . (9.7)

Используя полученные соотношения, найдем коэффициенты разложения периодической (с периодом T = 2p/w1) функции (9.6) в ряд Фурье в представлении

Так как функция четная, коэффициенты bk º 0. Коэффициенты ak вычисляются по формуле

Используя четность подынтегрального выражения, формулу (9.7) и соотношение w1T = 2p, перепишем последний интеграл:

Коэффициенты ak для k > 0 являются амплитудами гармонических составляющих тока i(t); постоянная составляющая I0 = a0/2. Интегрирование дает формулу для амплитуды k-й гармоники:

Приведем явные выражения для амплитуд некоторых гармоник:

Часто используются нормированные к Im значения Ik, или коэффициенты Берга

, Ik = ak(q)Im,

Рис. 9.3 Рис. 9.4

а также функции Берга

, Ik = gk(q)SUm.

Для ряда значений k коэффициенты и функции Берга табулированы. Графики и для k = 0, 1, 2, 3 приведены на рис. 9.3 и 9.4. Вид графиков указывает на возможность оптимизации процедуры нелинейного преобразования, так как при заданной ВАХ (фиксированном Uн) угол отсечки q в соответствии с формулой (9.5) регулируется выбором амплитуды Um и смещения U0.

Коэффициенты и функции Берга связаны друг с другом соотношением

gk(q) = (1 – cos q)ak(q).

Таким образом, ток в цепи нелинейного двухполюсника при гармоническом воздействии представляется суммой постоянной I0 и гармонических с амплитудами I1, I2, I3, … и частотами w1, 2w1, 3w1, …, кратными частоте приложенного напряжения, составляющих, т. е. рядом Фурье.

Дата добавления: 2019-03-09; просмотров: 553; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 10 11 12 13 141516 17 18 19 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!