Пример задачи массового обслуживания

⇐ ПредыдущаяСтр 11 из 12Следующая ⇒

Задача. В универсаме к узлу расчета поступает поток покупателей с интенсивностью l = 81 чел. в час. Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром одного покупателя = 2мин. Определите:

а. Минимальное количество контролеров-кассиров п_min, при котором очередь не будет расти до бесконечности, и соответствующие характеристики обслуживания при n=n_min.

б. Оптимальное количество n_опт. контролеров-кассиров, при котором относительная величина затрат С_отн., связанная с издержками на содержание каналов обслуживания и с пребыванием в очереди покупателей, задаваемая, например, как , будет минимальна, и сравнить характеристики обслуживания при n=n_min и n=n_опт.

в. Вероятность того, что в очереди будет не более трех покупателей.

Решение.

а. По условию l = 81(1/ч) = 81/60 = 1,35 (1/мин.), r = l/m = l = 1,35×2 = 2,7. Очередь не будет возрастать до бесконечности при условии r/n < 1, т.е. при n > r = 2,7. Таким образом, минимальное количество контролеров-кассиров n_min = 3.

Найдем характеристики обслуживания СМО при п = 3.

Вероятность того, что в узле расчета отсутствуют покупатели, p₀ = =(1+2,7+2,7²/2!+2,7³/3!+2,7⁴/3!(3-2,7))^-1 = 0,025, т.е. в среднем 2,5%времени контролеры-кассиры будут простаивать.

Вероятность того, что в узле расчета будет очередь

P_оч.= (2,7⁴/3!(3-2,7))0,025 = 0,735.

Среднее число покупателей, находящихся в очереди

L_оч. = (2,7⁴/3∙3!( 1-2,7/3)²)0,025 = 7,35.

Среднее время ожидания в очереди

T_оч.= 7,35/1,35 = 5,44 (мин).

Среднее число покупателей в узле расчета

L_сист.= 7,35+2,7 = 10,05.

Среднее время нахождения покупателей в узле расчета

T_сист. = 10,05/1,35 = 7,44 (мин).

Среднее число контролеров-кассиров, занятых обслуживанием

Таблица

Характеристика обслуживания	Число контролеров-кассиров
Характеристика обслуживания	3	4	5	6	7
Вероятность простоя контролеров-кассиров p₀	0,025	0,057	0,065	0,067	0,067
Среднее число покупателей в очереди T_оч.	5,44	0,60	0,15	0,03	0,01
Относительная величина затрат С_отн.	18,54	4,77	4,14	4,53	5,22

покупателей = 2,7.

Коэффициент (доля) занятых обслуживанием контролеров-кассиров

= ρ/n = 2,7/3 = 0,9.

Абсолютная пропускная способность узла расчета А = 1,35 (1/мин), или 81 (1/ч), т.е. 81 покупатель в час.

Анализ характеристик обслуживания свидетельствует о значительной перегрузке узла расчета при наличии трех контролеров-кассиров.

б. Относительная величина затрат при n = 3

C_отн.= = 3/1,35+3∙5,44 = 18,54.

Рассчитаем относительную величину затрат при других значениях п (табл.).

Как видно из табл. 2, минимальные затраты получены при n = n_опт. ⁼ 5 контролерах-кассирах.

Определим характеристики обслуживания узларасчета при n = n_опт. ⁼ 5 . Получим P_оч. = 0,091; L_оч. = 0,198; Т_оч.= 0,146 (мин); L_сист. = 2,90; T_снст. = 2,15 (мин); = 2,7; k₃ = 0,54.

Как видим, при n = 5 посравнению с n = 3 существенно уменьшились вероятность возникновения очереди P_оч., длина очереди L_оч. и среднее время пребывания в очереди T_оч. и соответственно среднее число покупателей L_сист. и среднее время нахождения в узле расчета T_сист., а также доля занятых обслуживанием контролеров k_3. Но среднее число занятых обслуживанием контролеров-кассиров и абсолютная пропускная способность узла расчета А естественно не изменились.

в. Вероятность того, что в очереди будет не более 3 покупателей, определится как

P(r ≤ 3) = p₁+ p₂+ p₃+ p₄+ p₅+	p₅₊₁+ p₅₊₂+ p₅₊₃ =
(когда заняты от 1 до 5 контролеров-кассиров)	(когда в очереди стоят от 1 до 3 покупателей)

= 1- P_оч.+ p₅₊₁+ p₅₊₂+ p₅₊₃. Получим при n=5:

Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 1904; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 101112 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!