Задачи для самостоятельного решения

 

1. Планируется деятельность четырех промышленных предприятий (системы) на очередной год. Начальные средства: S₀=5 условных единиц. Размеры вложения в каждое предприятие кратны 1 условной единице. Средства Х, выделенные k–му предприятию (k=1, 2, 3, 4), приносит в конце года прибыль f_k(X). Функции f_k(X) заданы таблично:

Х	f1(X)	f2(X)	f3(X)	f4(X)
1 2 3 4 5	0,2 0,9 1,0 1,2 2,0	1,0 1,1 1,3 1,4 1,8	2,1 2,5 2,9 3,9 4,9	0 2,0 2,5 3,0 4,0

Определите, какое количество средств нужно выделить каждому предприятию, чтобы суммарная прибыль наибольшей.

2. Планируется деятельность трех промышленных предприятий на очередной год. Начальные средства: S₀=9 условных единиц. Размеры вложения в каждое предприятие кратны 1 условной единице. Средства Х, выделенные k–му предприятию (k=1, 2, 3), приносит в конце года прибыль f_k(X). Функции f_k(X) заданы таблично:

Х	f1(X)	f2(X)	f3(X)
1 2 3 4 5 6 7 8 9	5 9 12 14 15 18 20 24 27	7 9 11 13 16 19 21 22 25	6 10 13 15 16 18 21 22 25

Определите, какое количество средств нужно выделить каждому предприятию, чтобы суммарная прибыль наибольшей.

 

Лабораторная работа №6. Системы массового обслуживания

Одноканальная система с отказами. Система массового обслуживания S (СМО) имеет два состояния: S₀ — канал свободен, S₁ — канал занят. Размеченный граф состояний

В предельном, стационарном режиме система алгебраических уравнений для вероятностей состояний имеет вид.

т.е. система вырождается в одно уравнение. Учитывая нормиро­вочное условие p₀+p₁=1, предельные вероятно­сти состояний

которые определяют соответственно относительную пропуск­ную способность Qсистемы и вероятность отказа P_отк:

                                                                        

Абсолютную пропускную способность найдем, умножив отно­сительную пропускную способность Qна интенсивность потока отказов

 

Многоканальная система с отказами. Система S (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): S₀, S₁, S₂, …, S_k, …, S_n, где S_k— состояние системы, когда в ней находится k заявок, т.е. занято k каналов.

Граф состояний СМО

 

 

 

Предельные вероятности состояний                                   

Величина  называется приведенной интенсивностью потока заявок или интен­сивностью нагрузки канала.

, .             

Вероятность отказа СМО   Относительная пропускная способность — вероятность того, что заявка будет обслужена:  Абсолютная пропускная способность:  Среднее число занятых каналов  есть  где p_k — предельные вероятности состояний.

Однако среднее число занятых каналов можно найти проще, если учесть, что абсолютная пропускная способность системы Аесть не что иное, как интенсивность потока обслуженных систе­мой заявок (в единицу времени). Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем μ заявок (в единицу времени), то среднее число занятых каналов  или

Одноканальная система с неограниченной очередью. Система может находиться в одном из состояний S₀, S₁, S₂, …, S_k,по числу заявок, находящихся в СМО: S₀ — канал свободен; S₁ — канал занят (обслуживает заявку), очереди нет, S₂ — канал занят, одна заявка стоит в очереди; ... S_k — канал занят, (k—1)заявок стоят в очереди и т.д.

Граф состояний СМО

Предельные вероятности состояний

                  

Так как предельные вероятности существуют лишь при ρ < 1, то геометрический ряд со знаменателем ρ<1, записанный в скобках в формуле , сходится к сумме, равной . Поэтому                                                     

и                      

Среднее число заявок в системе L_сист. определим по формуле  или  Среднее число заявок под обслуживанием т.е. среднее число заявок под обслуживанием равно вероятности того, что канал занят  Или                                                       

Среднее число заявок в очереди L_оч.  либо Среднее время пребывания заявки в системе определится по формуле: а среднее время пребывания заявки в очереди                                              

Многоканальная СМО с неограниченной очередью.

Система может находиться в одном из состояний S₀, S₁, S₂,…, S_k,…, S_n,…,— нумеруемых по числу заявок, находящихся в СМО: S₀ — в системе нет заявок (все каналы свободны); S₁ — занят один канал, остальные свободны; S₂— заняты два канала, осталь­ные свободны;..., S_k — занято k каналов, остальные свободны;..., S_n— заняты все n каналов (очереди нет); S_n+1— заняты все n каналов, в очереди одна заявка;..., S_n+r— заняты все n каналов, r заявок стоит в очереди,....

Граф состояний системы

Формулы для предельных вероятностей состояний n-канальной СМО с неограниченной очередью

                                                                                                 

Вероятность того, что заявка окажется в очереди                                  

Для n-канальной СМО с неограниченной очередью:

среднее число занятых каналов                                                 

среднее число заявок в очереди               

среднее число заявок в системе                               

Среднее время пребывания заявки в очереди и среднее время пребывания заявки в системе находятся как и ранее.

СМО с ограниченной очередью. СМО с ограниченной очередью отличаются от рассмотренных выше задач лишь тем, что число заявок в очереди ограничено (не может превосходить некоторого заданного т). Если новая заявка поступает в момент, когда все места в очереди заняты, она покидает СМО необслуженной, т.е. получает отказ.

Одноканальная система с ограниченной очередью. Система может находиться в одном из состояний S₀, S₁, S₂, …, S_m,по числу заявок, находящихся в СМО: S₀ — канал свободен; S₁ — канал занят (обслуживает заявку), очереди нет, S₂ — канал занят, одна заявка стоит в очереди; ... S_m — канал занят, (m—1)заявок стоят в очереди.

Предельные вероятности состояний

 ,   . Среднее число заявок в очереди . Среднее число заявок в системе L_сист. определим по формуле  где

Среднее время пребывания заявки в очереди и среднее время пребывания заявки в системе находятся как и ранее.

                   

Многоканальная СМО с ограниченной очередью. Система может находиться в одном из состояний S₀, S₁, S₂,…, S_k,…, S_n,…,— нумеруемых по числу заявок, находящихся в СМО: S₀ — в системе нет заявок (все каналы свободны); S₁ — занят один канал, остальные свободны; S₂— заняты два канала, осталь­ные свободны;..., S_k — занято k каналов, остальные свободны;..., S_n— заняты все n каналов (очереди нет); S_n+1— заняты все n каналов, в очереди одна заявка;..., S_n+m— заняты все n каналов, mзаявок стоит в очереди.

Предельные вероятности состояний: .

Для n-канальной СМО с ограниченной очередью среднее число занятых каналов  среднее число заявок в очереди        среднее число заявок в системе  Среднее время пребывания заявки в очереди и среднее время пребывания заявки в системе находятся как и ранее.

---

Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 401; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!