Задачи для самостоятельного решения
1. Найдите оптимальную стратегию 1-го игрока для игры двух участников с нулевой суммой путем сведения ее к задаче линейного программирования, если задана платежная матрица:
2. Найдите оптимальную стратегию 2-го игрока для игры двух участников с нулевой суммой путем сведения ее к задаче линейного программирования, если задана платежная матрица:
3. Найдите оптимальные стратегии игроков для игры двух участников с нулевой суммой, если задана платежная матрица:
4. Найдите оптимальные стратегии игроков в известной игре «камень, ножницы, бумага».
Лабораторная работа №5. Динамическое программирование
Построение модели динамического программирования (ДП) и применение метода ДП для решения сводится к следующим моментам:
1) выбирают способ деления процесса управления на шаги;
2) определяют параметры состояния Sk и переменные управления Xk на каждом шаге;
3) записывают уравнения состояний;
4) вводят целевые функции k-го шага и суммарную целевую функцию;
5) вводят в рассмотрение условные максимумы (минимумы) Zk*(Sk-1) и условное оптимальное управление на k-м шаге: Xk*(Sk-1), k= 
.
6) записывают основные для вычислительной схемы ДП уравнения Беллмана для Zn*(Sn-1) и Zk*(Sk-1), k= 
,
7) решают последовательно уравнения Беллмана (условная оптимизация) и получают две последовательности функций: { Zk*(Sk-1) } и {Xk*(Sk-1) }.
8) после выполнения условной оптимизации получают оптимальное решение для конкретного состояния S0: а)Zmax= Z1*(S0) и б) по цепочке S0ÞX1*® S1*ÞX2*® S2*Þ...ÞXn-1*® Sn-1*Þ Xn*® Sn* оптимальное управление: X*(X1*, X1*,..., X1*).
|
|
|
Пример задачи динамического программирования
Задача. Планируется деятельность четырех промышленных предприятий (системы) на очередной год. Начальные средства: S0=5 условных единиц. Размеры вложения в каждое предприятие кратны 1 условной единице. Средства Х, выделенные k–му предприятию (k=1, 2, 3, 4), приносит в конце года прибыль fk(X). Функции fk(X) заданы таблично:
| Х | f1(X) | f2(X) | f3(X) | f4(X) |
| 1 2 3 4 5 | 8 10 11 12 18 | 6 9 11 13 15 | 3 4 7 11 18 | 4 6 8 13 16 |
Определите, какое количество средств нужно выделить каждому предприятию, чтобы суммарная прибыль наибольшей.
Решение.
Обозначим через Xk количество средств, выделенных k-му предприятию. Суммарная прибыль равна 
. Переменные X удовлетворяют ограничениям: 
Требуется найти переменные X1, X2, X3, X4, удовлетворяющие данным ограничениям и обращающие в максимум функцию Z.
Рассмотрим особенности модели. Ограничения линейные, но переменные целочисленные, а функции fk(Xk) заданы таблично, поэтому нельзя применить методы целочисленного линейного программирования.
|
|
|
Схема решения задачи методом ДП имеет следующий вид: процесс решения распределения средств S0=5 можно рассматривать как 4-шаговый, номер шага совпадает с номером предприятия; выбор переменных X1, X2, X3, X4 – уравнения соответственно на I, II, III, IV шагах; Ŝ - конечное состояние процесса распределения – равно нулю, так как все средства должны быть вложены в производство, Ŝ=0. Покажем схему распределения:
Уравнения состояний в данной задаче имеют вид:
 |
S k=S k-1-X, (k=
),
где Sk-параметр состояния – количество средств, оставшихся после k-го шага, т.е. средства, которые остается распределить между оставшимися (4-k) предприятиями.
Введем в рассмотрение функцию Zk* (Sk-1) – условно оптимальную прибыль, полученную от k-го, (k+1)-го, ..., 4-го предприятий, если между ними распределялись оптимальным образом средства Sk-1 (0 £ Sk-1 £ 5). уравнения на k-ом шаге удовлетворяют условию: 0 £ Xk£Sk-1 (либо k-му предприятию ничего не выделяем, Xk=0, либо не больше того, что имеем к k-му шагу, Xk £ Sk-1 ).
Последовательно решаем уравнения
проводя последовательную оптимизацию каждого шага. Для этого поступим следующим образом.
1. Создадим текстовую форму – таблицу для ввода условий задачи. Введем исходные данные задачи в созданную форму-таблицу:
|
|
|
2. В ячейку E15 введем формулу
=ИНДЕКС($B$3:$F$8; ПОИСКПОЗ($C15;$B$3:$B$8); G$12+1), скопируем формулу с ячейки E15 до ячейки Е35.
3. В ячейку F15 введем формулу
=ИНДЕКС($B$3:$F$8;ПОИСКПОЗ($D15;$B$3:$B$8);5), скопируем формулу с ячейки F15 до ячейки F35.
4. В ячейку G15 введем формулу =E15+F15, скопируем формулу с ячейки G15 до ячейки G35.
5. Находим максимальное значение для каждого состояния от 0 до 5, для этого в ячейку Н15 введем формулу =МАКС(G15), после копирования формулы в ячейку H16, необходимо изменить диапазон с G16 на G16:G17, для этого стоя в строке формул необходимо растянуть выделенный прямоугольник на одну ячейку вниз. Затем копируем формулу из H16 в ячейку H18 и проводим такие же операции по увеличению диапазона, и т.д. до ячейки H30.
6. Находим значение управления Хk, которому соответствует максимальное значение функции Zk, для этого в ячейку I15 введем формулу =ИНДЕКС($C15:G15;ПОИСКПОЗ(H15;G15;0);1), скопируем формулу в ячейки I16, I18, I21, I25, I30 постепенно увеличивая диапазон, аналогично тому, как это делалось в пункте 5. В результате получим следующую таблицу:
7. Выделяем диапазон ячеек E15:I35 выполняем команду Копировать, устанавливаем курсор в ячейку J15 выполняем команду Вставить.
8. Изменим формулу функции Z3*(S2). В ячейки K15, K16, K18, K21, K25, K30, введем соответственно максимальные значения предыдущего шага, находящиеся в ячейках H15, H16, H18, H21, H25, H30. В остальные ячейки поместим значения, стоящие в этом же столбце и соответствующие предыдущим Sk. В ячейку K17 копируем значение ячейки K15; в ячейки K19 и K20 – значения K16 и K17; в K22:K24 – K18:K20 и т. д. до ячейки K35. В результате получим:
|
|
|
9. Выделяем диапазон ячеек J15:N35 выполняем команду Копировать, устанавливаем курсор в ячейку O15 выполняем команду Вставить. В результате получаем заполненную таблицу:
10. Сравнивая полученные значения, получим Z1*(5)=24 усл. ед. = Zmax при X1*= X1*(5)=1. Вычисляя, получим S1* = 5 - 1 = 4, а по таблице в столбце 12 находим X2* = X2* (4) = 2. Далее находим S2* = 4-2 = 2, а в столбце 6 X3* = X3*(2) = 1. Наконец, S3* = 2-1 = 1 и X4* = X4*(1) = 1, т. е. X*(1; 2; 1; 1).
Максимум суммарной прибыли равен 24 усл. ед. средств при условии, что 1-му предприятию выделено 1 усл. ед.; 2-му предприятию – 2 усл. ед.; 3-му предприятию – 1 усл. ед.; 4-му предприятию – 1 усл. ед.
Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 397; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!