Устойчивые распределения неустойчивых частот



Закон распределения случайных величин называют устойчивым, если сумма (точнее, линейная комбинация(*) ) одинаково распределенных величин оказывается распределенной по тому же закону, что и слагаемые. Среди устойчивых распределений только одно – гауссово – относится к миру вероятностных явлений, а все остальные – к миру неустойчивых частот.

Иногда теорию устойчивых распределений излагают в курсах ТВ [Ламперти, 1973; Феллер, 1984] (хотя в терминах нашей темы это – другой раздел алеатики), причем всегда делается упор на их сходство (на то, что они – обобщение гауссового, его "ближайшие родственники" [Золотарев, 1984, c. 5]); при этом остается в тени их фундаментальное различие: все описываемые устойчивыми распределениями, кроме гауссова, случайные величины неустойчивы по Лексису, т.е. описывают события, которые имеют вероятности-меры, но не имеют вероятностей, понимаемых в виде "пределов" частот (т.е. частот, сходящихся к некоторой небольшой области, как это сказано в п. 2-7).

Нас будут интересовать устойчивые распределения неустойчивых частот. Изучение их началось в 1920-х годах и, в интересующем нас смысле, почти завершилось в 1930-х и практически окончательно – в 1960-х. Сперва Пойа, еще не имея понятия устойчивости распределения, доказал, что в искомом классе только одно распределение – гауссово – имеет конечную дисперсию, затем французский математик Поль Леви ввел понятие устойчивости распределения и описал основные свойства устойчивых распределений, в чем к нему присоединился Хинчин. Наконец, в 1939-1940 годах был установлен основной для нашей темы результат – теорема Гнеденко – Дёблина (о ней ниже). Еще лет через 20 Мандельброт предложил использовать устойчивые законы для анализа гиперболических распределений (мы говорили о них в пп. 5-5 и 5-6). И хотя главный вопрос (почему гиперболические распределения столь обычны в практике) даже не был поставлен, дальнейшие исследования приняли характер "решения головоломок" (в смысле Куна) или, в лучшем случае, чисто прикладных.

Хотя почти все устойчивые плотности невыразимы через элементарные функции, но известно, что все устойчивые плотности (кроме гауссовой) убывают при больших x приблизительно как гиперболы вида

f(x) = x—1—u , где 0 < u < 2                                                               (9)

и что все устойчивые плотности одновершинны [Золотарев, 1983; 1984]. Формуле (9) удовлетворяет при u=1 плотность распределения Коши. При u=2 распределение обретает конечную дисперсию, и, соответственно, сумма становится сходящейся не к гиперболе, а к гауссову распределению, согласно ЦПТ. Семейство этих плотностей зависит от четырех параметров, из которых нам важны два – показатель u скорости убывания f(х) с ростом х, а также параметр асимметрии b, обращающийся в нуль при полной симметрии плотности (например, для распределения Коши). Некоторые устойчивые плотности приведены на рис. 12 (где a означает наше u, а b— наше b).

Основное для нас свойство устойчивых распределений дается теоремой Леви: если распределение суммы независимых одинаково распределенных величин сходится к какому-то распределению F, то это F устойчиво [Ламперти, 1973, c. 100]. Tакую сходимость случайных величин с бесконечными дисперсиями Стоянов [1999, c. 158, 160] назвал обобщенным ЗБЧ, не связав ее, однако, с устойчивостью.

Теорема Леви показывает, что устойчивость в некотором смысле есть обобщение гауссовости: если распределение суммы случайных величин, имеющих конечные дисперсии, в широких условиях сходится к гауссову (в этом состоит ЦПТ), то не имеющих (но одинаково и устойчиво распределенных) – к случайной величине, распределенной по тому же закону, или ни к чему не стремится.

Естествен вопрос: можно ли сходным образом обобщить ЦПТ, и ответ утвердителен. А именно, теорема Гнеденко – Дёблина гласит: сумма одинаково распределенных случайных величин сходится к негауссову устойчивому распределению тогда и только тогда, когда плотность f(x) распределения каждого слагаемого убывает с ростом x приблизительно как гипербола вида (9) (подробнее см. [Хайтун, 1989, с. 109]).

Почти все устойчивые плотности двухвосты. На рис. 12 видно, что исчезновение левого хвоста достигается при значении параметра: b=1 (крайняя асимметрия); при иных b кривые всегда двухвосты [Золотарев, 1983, c. 173; 1984, c. 31]. Лишь 4 устойчивых плотности удается выразить формулами [Золотарев, 1984, c. 30-31]:

1) Гаусса (u=2, зависимости от b нет);

2) Коши (u=1, b=0);

3) Леви (u=1/2, b=1).

4) Леви (u=1/2, b= —1).

Первые две плотности колоколообразны и симметричны, вторые очень близки к гиперболам. Кроме этих одномерных плотностей, хорошо изучено распределение Хольцмарка (u=3/2) [Золотарев, 1983, c. 55], описывающее гравитационное поле звезд в трехмерном пространстве.

Гиперболическиераспределения предложены во многих науках, естественных и гуманитарных. Например, принято считать, что гиперболически распределены люди по степени богатства (но не заработка) – распределение Парето, виды организмов по родам – распределение Виллиса, слова по их встречаемости в текстах – Ципфа, ученые по числу публикаций – Лотки, города по числу жителей – Саймона, землетрясения по мощности – распределение Гутенберга – Рихтера.

Сказанное заставляет обратить на устойчивые распределения особое внимание. Если вершина плотности расположена при х>>0, это создает иллюзию сходства с обычной ("гауссовой") статистикой, где вершина – нечто близкое к наиболее вероятному. Но иллюзия обманчива: в силу (9) дисперсияf(x) бесконечна, и ожидать реализации основной массы значений случайной величины вблизи абсциссы, соответствующей вершине, не приходится. А вот если вершина расположена при х<0 или около нуля, причем величина х по своему смыслу положительна, то тогда правый хвост устойчивой плотности хорошо моделирует плотность гиперболического распределения (о них шла речь в пп. 5-5 и 5-6). Поэтому такое распределение хорошо описывается языком теории устойчивых распределений (на что впервые обратил внимание Мандельброт около 1960 года). Однако надо всегда иметь в виду, что сами по себе устойчивые плотности никогда строгими гиперболами не бывают – даже в тех вырожденных случаях, когда они однохвосты (b=1 на рис. 12; кроме того, при b= –1).

Бытует (но далеко не господствует) разумное предположение, что гиперболические распределения столь же важны для статистики, сколь и гауссово распределение. Однако объяснения их появления, сравнимого по степени общности с тем, как Пуанкаре толковал появление гауссова распределения (суммирование малых воздействий), не предложено.

Не раз отмечено, что сама по себе форма кривой ничего не говорит о законе, ее породившем. Более того, комбинируя приемы МС, можно одни и те же данные представить самыми разными распределениями: "не только логистическое, но также нормальное, Коши и другие распределения могут быть подогнаны под тот же самый материал" [Феллер, 1984, c. 69]. Тем не менее, принято считать, что факт наблюдения гиперболической плотности распределения случайной величины свидетельствует о наличии некоего особого порождающего механизма и, более того, что появление гиперболы в модели явления доказывает адекватность модели.

Наиболее характерна в этом отношении введенная физиками концепция самоорганизованной критичности [Bak e.a., 1988], авторы которой исходят из убеждения, что сам факт гиперболичности говорит о наличии самоорганизации в наблюдаемой системе. Даже если "система" является всего лишь кучей песка. И пусть математик, рецензируя популяризатора, справедливо сетует: <<Физическое понятие самоорганизованной критичности сведено к тривиальному "Крупные события встречаются реже мелких событий, так что отношение между ними может во многих случаях быть выражено простой математической формулой">> [Durrett, 1999, c. 674], – но и он не говорит, в чем должен состоять нетривиальный подход.

В связи со всем сказанным, выскажу свою позицию: гиперболическое приближение описывает случайные величины с неустойчивыми частотами. Ни о самоорганизации, ни о детерминированной компоненте случайного явления, ни вообще о каком-либо конкретном механизме гиперболическая плотность не свидетельствует, как не свидетельствует об их отсутствии гауссоида. Тот факт, что при обрушении кучи песка размеры отпадающих от нее массивов распределяются по величине согласно гиперболе [Бак, Чен, 1991], говорит о самоорганизации кучи не более, чем распределение ошибок по Гауссу говорит об отсутствии самоорганизации ошибок.

Даже наоборот – перемалывание всяких случайностей в гауссову (согласно ЦПТ) выглядит, на мой взгляд, намного более организованным, чем обрушение куч. Именно отсутствие той небольшой организованности (симметрии), какая обычна в стохастических процессах, и ведет, надо полагать, к росту хаотичности сверх той, что обычна для стохастичности.

Более удачно, на мой взгляд, указание на «характеристический масштаб» – в стохастических процессах он есть (например, количество вариантов, период полураспада), а в более хаотических (в том числе в кучах) его нет, вследствие чего наблюдаются «едва устойчивые структуры», рушащиеся от малейшего воздействия [Шрёдер, 2001, c. 489].

Но почему тогда тут говорят о самоорганизации? Потому, что самоорганизация тоже часто порождает (при наличии случайности в системе) гиперболическую плотность распределений наблюдаемых случайных величин. Хотя утверждение: "Степенные (гиперболические – Ю.Ч.) законы можно рассматривать как свидетельство самоорганизованной критичности" [Бак, Чен, 1991, c. 19] – еще предстоит обосновать или опровергнуть, однако наблюдение гиперболы действительно побуждает искать системную случайность, а она чаще всего выступает в форме самоорганизации.

Но не обязательно: ниже мы увидим, что гиперболу может порождать как уменьшение хаотичности ("слабый хаос" [Бак, Чен, 1991, с. 22]), так и увеличение ее сверх стохастичности (например, в ветвящемся процессе). И если, наблюдая гауссоиду, почти никто не пытается строить выводы о механизме явления, то не следует этого делать и при виде гиперболы – она может иметь самые разные причины или много причин сразу. Зато имеет смысл разграничить те условия, что порождают гиперболу, от условий, порождающих гауссоиду и другие колоколообразные плотности. Попробуем это сделать.

 


Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 288; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!