Неустойчивость частот и распределение Коши



В главе 4 мы видели, как уменьшение неопределенности рождает вероятность, и тем самым убедились, что вероятностное – отнюдь не самое случайное. Вопреки общему мнению, к самому случайному вероятность никогда не относится – даже при наличии многократной повторности испытаний (а тем более при ее отсутствии). То есть стохастичность выступает как промежуточная ступень между детерминированными и совсем случайными явлениями.

Этот вывод противоположен общепринятому ([Петров, Яблонский, 1980; Алимов, Кравцов, 1992; Тутубалин, 1993]), гласящему, что невозможность ввести вероятность вызвана сочетанием случайного и детерминированного компонентов в одном явлении. (Замечу – оба вывода общи тем, что в обеих ситуациях дисперсия выше, чем в чисто вероятностных явлениях, и потому их путают.) В пп. 4-7 и 6-3 был рассмотрен пример случайности, менее регулярной, нежели стохастичность – простейший ветвящийся процесс; в нем частота неустойчива по Лексису.

Прежде всего – почему в природе достаточно часто наблюдается неустойчивость частот? Мало кто думал на эту тему. Даже О.Б. Шейнин, блестящий знаток истории вероятностей, указал только знаменитого Муавра, который вообразил хаос, где "события не будут стремиться ни к какому определенному соотношению"; но и Муавр отверг такую возможность как абсурд; Мизес тоже отрицал ее [Шейнин, 1988, с. 13]. Колмогоров [1991, с. 42] ее признавал, но исследовать тоже не стал.

Изредка вопрос затрагивается мельком в руководствах. Например, Б.В. Гнеденко признавал, что утверждение о существовании вероятности "является содержательным утверждением, нуждающимся в каждом отдельном случае в обосновании..." [Гнеденко, 1961, с. 17]. К сожалению, нет речи о том, как вести обоснование "в каждом отдельном случае" – ведь для этого сперва надо хотя бы поставить общую проблему о причинах устойчивости и неустойчивости частот.

Ранее (гл. 4) была высказана мысль, что устойчивость частот гарантируется тройной симметрией, а потому их неустойчивость связана с уменьшением симметрии случайностей. При этом стохастическими (имеющими вероятности) и максимально симметричными оказались, как мы видели в главе 6, крайности – имманентная случайность и жесткая псевдослучайность. Дело в том, что имманентная случайность подчиняется той же тройной симметрии, что и основные типы псевдослучайности. Несимметричные случайности как бы располагаются между ними.

Имманентная случайность проявляется при отсутствии взаимодействий, в так называемом событийном вакууме и все-таки проявляет те же свойства, которые характерны для случайностей, рождающихся при определенных взаимодействиях. Налицо альтернатива: либо событийный вакуум – фикция, т.е. не зависимых ни от чего событий попросту не бывает (и надо говорить не о событийном вакууме, а о "черном ящике взаимодействий" [Заславский, 1984, с. 215] как о причине гауссовости), либо он действительно существует, но тогда он явно обладает тем свойством, что возникающие там случайности симметричны. Точнее, и жесткая псевдослучайность, и событийный вакуум могут обладать общим экстремальным свойством, описанным в п. 5-5.

По-видимому, равновозможность так же выделена среди событий, как инерция – среди движений. Если на тело ничто не действует, оно движется по инерции; если ничто не влияет на случайное явление, оно проявляет равновозможность в смысле Я. Бернулли. Как гравитация искривляет физическое пространство, делая геодезические линии кривыми, вплоть до их замкнутости, так, по-видимому, взаимодействие событий (если оно не сводится к перемешиванию(*)) искривляет тройную симметрию случайности, вплоть до исчезновения вероятностей.

При этом возникает, насколько мне известно, всего два типа распределений – с симметричной колоколообразной плотностью (распределение Коши) и с резко асимметричной плотностью, ведущей себя при больших х как гипербола. Естественно желание вывести этот факт из какой-то общей теории. Ее пока нет, но есть одно приближение к ней – теория устойчивых распределений, которой мы коснемся в п. 2. Но сперва рассмотрим распределение Коши.

Мы закончили п. 5-5 упоминанием того, что круг случайностей может быть шире, чем принято считать. Как расширить его? Проще всего сделать это путем рассмотрения случайных серий с бесконечными дисперсиями, т.е. – рассмотрения неустойчивости по Лексису. По теореме Хинчина (см. п. 3-5), бесконечные дисперсии совместимы с ЗБЧ, если случайные величины распределены одинаково и существует их мат. ожидание. Этот факт можно выразить так: некоторую асимметрию, связанную с нарушением равновозможности событий, компенсирует симметрия организации серий. Но что будет, если асимметрию увеличить еще более – так, что мат. ожидание тоже станет бесконечным?

Самый факт его бесконечности исключает выполнимость ЗБЧ, но остается возможность сходимости суммы случайных величин не к мат. ожиданию, а к какой-то иной константе. Оказывается, этого можно достичь, еще более повысив симметричность самих случайных величин: известен пример весьма симметричной случайной величины (она принимает лишь значения +k и –k с вероятностями, пропорциональными 1/k2), которая, не имея мат. ожидания, все-таки обладает суммой, условно сходящейся к некоторой константе [Стоянов, 1999, c. 156–157]. Однако сама вычурность примера говорит о том, что с исчезновением мат. ожидания мы вступаем в область случайностей совсем иной природы. В качестве первого примера такой случайности модифицируем рулетку Пуанкаре.

Пусть в рулетке Пуанкаре вместо стрелки крутится вертикальное двустороннее зеркальце, отражающее узкий луч от неподвижного источника. Если отраженный луч падает на круговой цилиндр, то рулетка в принципе не отличается от прежней (разве что отраженный луч обегает окружность вдвое быстрее, чем стрелка или зеркальце). Но если луч проецируется на прямую стенку, то равномерному распределению угла остановки зеркальца соответствует распределение на бесконечной прямой x=tg a, т.е. a=arctg x. Это – распределение Коши, введенное в п. 4-6.

Как видим, понижение симметрии физической задачи с круговой до двусторонней сделало случайную величину (точку падения луча в момент остановки) неограниченной, что обратило равномерное распределение (быстро сходящееся к гауссову, как мы видели на рис. 2) в распределение Коши, тоже внешне симметричное (колоколообразное), но резко асимметричное внутренне: исчезла равновозможность исходов, а с тем и устойчивость частот.

Любопытно, что распределение Коши возникает также и при несимметричном взаимодействии гауссовых в широком смысле(*) случайных величин. Например, по Коши распределена величина , где Х распределена нормально, а Y – по любому из распределений хи-квадрат, плотности которых даны на рис. 3 [Шметтерер, 1976, с. 96].

Распределение Коши явилось исторически первым примером устойчивого распределения случайной величины с неустойчивой частотой [Золотарев, 1983, c. 10]. Нам надо охарактеризовать класс устойчивых распределений как целое.

 


Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 249; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!