Континуум в различных пониманиях

⇐ ПредыдущаяСтр 36 из 64Следующая ⇒

Рассмотрим отрезок [0, 1] вещественной прямой, т.е. отрезок между нулем и единицей. Всякую его точку принято считать выразимой через вещественное число, т.е. через последовательность цифр:

x = 0,a₁,a₂,...,a_n,..., (8)

причем некоторые рациональные числа содержат далее какого-то n одни нули. В математическом анализе известна теорема Дедекинда, утверждающая, что никаких иных чисел тут быть не может (точнее, что любая сходящаяся последовательность чисел вида (8) имеет пределом число вида (8)). Однако выше, в п. 2-9, мы видели другое – числа устроены хитрее, чем кажется, и, в частности, для понимания вероятности полезны гипервещественные числа. Откуда они берутся, если верна теорема Дедекинда? Оказывается, они берутся из иной, нежели обычная теория множеств, идеологии.

Пусть математика и гордится тем, что ее истины выше истин остальных наук, поскольку каждая имеет доказательство, но само понятие доказательства – объект нескончаемых споров. В частности, в математике есть школа (интуиционизм), отрицающая доказательство от противного как ничего не говорящее нашей интуиции. А доказательство Дедекинда именно таково – допустим, что число некой иной природы существует, и придем к противоречию. Более того, в теории множеств фундаментальную роль играет диагональная теорема Кантора, тоже имеющая только доказательство от противного. Она гласит, что вещественные числа невозможно перенумеровать. Вот ее доказательство.

Допустим противное, т.е. что все числа, выразимые в виде (8), можно перенумеровать, т.е. записать в форме

x1 = 0,a₁₁,a₁₂,...,a_1n,...

x2 = 0,a₂₁,a₂₂,...,a_2n,...

..........................

xk = 0,a_k1,a_k2,...,a_kn,...

..........................

и придем к противоречию: легко построить число y = b₁,b₂,...,b_n,..., отличное от чисел x_k, но принадлежащее отрезку [0, 1]. Для этого надо взять b₁, отличное от a₁₁; b₂, отличное от a₂₂; ...; b_n, отличное от a_nn, и т.д.; тогда y окажется отличным от каждого из перенумерованных чисел хотя бы одним знаком. Это – знаменитый "канторов диагональный процесс" в его простейшей форме.

Выводы из этой теоремы Георг Кантор сделал самые решительные –
1) что множество x всех чисел, выразимых в форме (8), несчетно (или: его мощность выше счетной) и 2) что оно есть континуум – т.е. непрерывное множество всех точек отрезка [0, 1]. Это было сделано в 1891 году, и с тех пор не затихает спор о том, что же на самом деле Кантор доказал, а что провозгласил без доказательства.

Большинство математиков признало оба эти вывода. Меньшинство же указывало и указывает, что построено лишь одно число y, быть может и новой природы, но вовсе не множество большей мощности. Противоречие, основа доказательства Кантора, не обязано указывать на новый тип бесконечности; оно может указывать на незаконность любого этапа доказательства. В терминах логики: Кантор смешал внешнее отрицание с внутренним [Бычков и др., 1999].

Ошибка фактически стала довольно-таки ясна, когда в 1905 году Жюль Ришар провел аналогичное "доказательство" в рамках конечного числа чисел. Пусть перенумерованы все вещественные числа, задаваемые алгоритмами (правилами вычисления), каждое из которых короче ста слов. Задаваемые так числа могут быть иррациональными, т.е. число их знаков – бесконечным, но число таких правил (а с тем и чисел) конечно. Запишем их одно под другим – поскольку строк получится меньше, чем столбцов, то можно провести диагональный процесс. Проведем его, т.е. получим число, которое заведомо не содержится в данной записи. Однако оно должно содержаться, ибо строится правилом короче ста слов. В этом – парадокс Ришара [Клайн, 1984; Мартин-Лёф, 1975].

Как бы к нему ни относиться, ясно, что диагональная теорема Кантора требовала пересмотра, чего ни сам Кантор (он тогда уже отошел от математики), ни его приверженцы не сделали. Причины на то были разные, но все, по-видимому, носили мировоззренческий характер. Для Кантора в это время на первом месте были богословские аргументы [Клайн, 1984; Бычков и др., 1999], которых мы касаться не будем, остальных же, на мой взгляд, удовлетворяло то, что теорема соответствовала интуитивному представлению об устройстве чисел: вещественных качественно больше, чем рациональных; притом любое можно записать рядом цифр, пусть и бесконечным. А интуиционисты, отрицая канторово понимание континуума, ничего не могли предложить взамен.

Удивительно другое: как раз формалисты исходили тут из интуитивных (и дажа бессознательных) соображений, тогда как интуиционисты – из формальных (из дефекта доказательства Кантора). Это важно помнить – различие школ не в уровне формализации, а в понимании сути истины и ее доказательства, т.е. в философии математики.

С тех пор согласия не достигнуто, но выяснено много нового. В 1931 году австрийский логик Курт Гёдель доказал, что всякая формальная система неполна (обсуждение см. [Паршин, 2000]). После осознания этого факта теорему Кантора естественно, на мой взгляд, записать так: всякая процедура нумерации вещественных чисел неполна, поскольку упускает хотя бы одно число; никакого способа увеличить число упущенных чисел не указано. Еще через 35 лет появился нестандартный анализ (см. п. 2-9), который дает (тоже на мой взгляд) интуиции совсем иное удовлетворение: за счет гипервещественных чисел отрезок [0, 1] содержит качественно больше чисел, чем множество чисел вида (8).

Тот факт, что это множество не исчерпывает точек отрезка, был ясен, по сути, еще при Канторе, который сам построил пример множества, содержащего "канторов континуум" точек, однако занимающего нулевую часть отрезка, на котором оно располагается. Это – описанное в п. 1 множество Кантора. Поскольку оно не занимает никакой конечной части отрезка, можно (с интуитивной позиции) отрицать, что "канторов континуум" есть континуум в смысле непрерывного множества точек. Поэтому нам необходимо внимательно рассмотреть канторову аргументацию.

Кантор дал два доказательства того, что счетное множество не исчерпывает множества вещественных чисел. Первое (1874 г.) состояло в следующем. Он рассматривал произвольную последовательность веществнных чисел и доказывал, что существует число y, в ней не содержащееся. Для этого он брал отрезок между первым и вторым членами последовательности – если между ними окажется не более конечного числа членов последовательности, то роль y сыграет любая иная точка отрезка; если бесконечно, то брался меньший отрезок внутри первого и т.д., пока левые и правые концы отрезков не сомкнутся в точке, которая (доказывал Кантор) и есть y [Кантор, 1985, c. 20-21]. Историк математики Ф.А. Медведев писал, что это – первое доказательство несчетности континуума (там же).

Многие математики выступили против Кантора, и один даже назвал его шарлатаном [Клайн, 1984, c. 236]. Хотя их аргументация мне неизвестна (я нигде не видал конкретных ссылок на нее, поскольку историки анализируют исключительно работы сторонников Кантора), но легко видеть, что в данном доказательстве использовано очень сильное, ниоткуда не следующее и неясное интуитивно утверждение: если даны отрезок и бесконечное количество чисел, то про каждое можно сказать, содержится ли оно в отрезке. (Замечание для математиков: утверждение более сильно, чем просто принятие актуальной бесконечности и чем аксиома выбора, ибо утверждает возможность просматривать весь бесконечный ряд и делать заключение про каждое его число – входит ли оно в отрезок(*) .) Проще сказать, что несчетность континуума тут постулирована.

Второе доказательство (диагональным методом) тоже, как сказано выше, несчетности континуума не доказывает. Остается признать, что несчетность континуума – особый постулат, призванный удовлетворить нашей интуиции и оправдать принятые в математике непрерывные конструкции, без которых невозможна, кстати, математическая физика. Но если так, то постулату мы вольны придавать ту форму, которая лучше всего описывает явления – как физические, так и чисто математические. Сделаем это с помощью концепции дополнительности, поскольку это оказывается удобно для целей алеатики.

Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 206; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 31 32 33 34 353637 38 39 40 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!