Закон сохранения полной механической энергии

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 7Следующая ⇒

Потенциальной энергией называется работа, производимая силами потенциального силового поля по перемещению точки из произвольного положения в начальное М₀.

. (14.1)

Потенциальная энергия силы тяжести можно определить как

. (14.2)

Полная механическая энергия точки (системы) Е равна сумме кинетической и потенциальной энергий

. (14.3)

Закон сохранения полной механической энергии имеет следующую формулировку – полная механическая энергия системы в потенциальном стационарном силовом поле во время движения остается постоянной.

или . (14.4)

Примеры решения задач

Задача 1

Однородный диск массой m и радиуса r катится без скольжения по наклонной плоскости вверх. В начальный момент времени скорость центра диска V₀ = 4 м/с. Определить путь пройденный центром С диска до остановки.

Решение

Согласно закону о сохранении полной энергии:

Однородный диск совершает плоскопараллельное движение, соответственно его кинетическая энергия будет состоять из суммы кинетической энергии поступательного движения центра масс и кинетической энергии вращательного движения вокруг центра масс.

где – момент инерции диска относительно оси проходящей через центр масс диска.

– угловая скорость диска относительно мгновенного центра скоростей.

Так как в конечном положении диск остановился, то его кинетическая энергия

Примем в начальный момент времени , тогда в конечном положении диск обладал потенциальной энергией полученной при подъеме тела на высоту h.

тогда ;

; ;

м.

Ответ: м.

Принцип Даламбера (метод кинетостатики)

Применение метода кинетостатики в теоретической механике даёт возможность решать методами статики многие задачи динамики. Особенно удобно использовать этот метод для учёта динамических нагрузок при силовых расчётах инженерных сооружений и конструкций.

Метод кинетостатики требует введение понятия Даламберовой силы инерции.

Даламберова сила инерции – это вектор, имеющий размерность силы, по модулю равный произведению массы на ускорение, направленный противоположно ему, который можно включать в систему действующих на частицу сил и в процессе математических преобразований обращаться с ним, как с обычной силой

. (15.1)

Принцип Даламбера для материальной точки

. (15.2)

Векторная сумма активных сил, действующих на точку, реакций связей и даламберовой силы инерции равна нулю.

Принцип Даламбера для механической системы

, (15.3)

где – сумма внешних активных сил;

– сумма реакций связи со стороны тел, не входящих в систему;

– сумма сил инерции точек;

– сумма моментов внешних активных сил относительно некоторого произвольного центра О;

– сумма моментов внешних реакций относительно того же центра О;

– сумма моментов сил инерции относительно того же центра.

Таким образом, условия динамического равновесия имеют вид

. (15.4)

Главные вектор и главный момент внешних и даламберовых сил инерции равны нулю для любой механической системы.

Примеры решения задач

Задача 1

Груз массой m = 60 кг подвешен на нити, которая наматывается на барабан, вращающийся согласно уравнению . Определить натяжение каната, если радиус r = 0,4 м.

Решение

Согласно принципу Даламбера:

Спроецируем данное уравнение на ось x:

На тело действует только касательное ускорение поэтому:

– сила инерции груза.

где ; рад/с; рад/с²;

м/с²; Н.

Ответ: Н.

Задача 2

Материальная точка массой m = 2 кг скользит по негладкой горизонтальной плоскости под действием силы F = 10 H, составляющей угол с горизонтальной плоскостью. Определить ускорение материальной точки, если коэффициент трения скольжения .