Две основные задачи динамики точки

Стр 1 из 7Следующая ⇒

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра «Теоретическая механика»

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ

МЕХАНИКА

Методические рекомендации к самостоятельной работе студентов технических специальностей

ДИНАМИКА

Могилев 2016

УДК	531
ББК	22.21
	Т33

Рекомендовано к опубликованию

учебно-методическим управлением

ГУ ВПО «Белорусско-Российский университет»

Одобрено кафедрой «Теоретическая механика» «02» сентября 2016 г., протокол № 1

Составители: П. Н. Громыко; Н. А. Леванович;

П. С. Гончаров; И. В. Трусов;

Л. Г. Доконов

Рецензент канд. техн. наук, доц. Д.М. Макаревич

Методические указания составлены в соответствии с рабочей программой дисциплины «Теоретическая механика» для студентов заочной формы обучения

Указания содержат материал для и самостоятельной подготовки студентов к аудиторной контрольной работе.

Учебное издание

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Ответственный за выпуск П. Н. Громыко

Технический редактор А. А. Подошевко

Компьютерная верстка Н. П. Полевничая

Подписано в печать . Формат 60х84 /16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс.

Печать трафаретная. Усл.- печ. л. . Уч.-изд. л. .Тираж __ экз. Заказ №

Издатель и полиграфическое исполнение

Государственное учреждение высшего профессионального образования

«Белорусско-Российский университет»

©ГУ ВПО «Белорусско-Российский

университет», 2016

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ. 4

ДИНАМИКА.. 5

1. Основные законы динамики. 5

2. Две основные задачи динамики точки. 6

3. Колебания материальной точки. 8

4. Основное уравнение динамики относительного движения. 11

5. Теорема о движении центра масс механической системы.. 12

6. Теорема об изменении количества движения для материальной точки. 15

7. Теорема об изменении количества движения механической системы.. 16

8. Понятия о моментах инерции. 17

9. Теорема об изменении кинетического момента. 19

10. Дифференциальные уравнения движения твердого тела. 21

11. Работа силы.. 23

12. Кинетическая энергия точки и твердого тела. 25

13. Теорема об изменении кинетической энергии. 26

14. Закон сохранения полной механической энергии. 28

15. Принцип Даламбера (метод кинетостатики) 29

16. Принцип возможных перемещений и общее уравнение динамики. 31

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ.. 34

ВВЕДЕНИЕ

Раздел «Динамика» является основным и заключительным в курсе теоретической механики. В нем изучаются законы движения материальных точек и механических систем при действии на них сил. Для инженера важное значение имеет не только знание этих законов динамики, но и умение применять их к решению конкретных практических задач.

Основной задачей настоящего методического указания является оказание помощи студенту заочной формы обучения при подготовке к аудиторной контрольной работе. При положительной оценке преподавателем результатов указанной контрольной работы студент будет допущен к сдаче экзамена по разделу «Динамика» дисциплины «Теоретическая механика».

В контрольной работе будут содержаться теоретический вопрос и одна задача на применение основных законов и принципов раздела «Динамика».

В методическом указании содержится минимум необходимый для ответов на теоретические вопросы материалов, а также примеры задач, тематика которых совпадает с тематикой задач, которые будут представлены при проведении аудиторной контрольной работы.

Рецензированию подлежат только те контрольные работы если в них содержится ответ на теоретический вопрос и дано решение предложенной задачи. Преподаватель оценивает правильность и полноту ответа на вопрос и решения задачи и делает окончательное заключение о возможности получения оценки «зачтено» для студента, выполнившему контрольную работу.

ДИНАМИКА

Основные законы динамики

Закон инерции (первый закон Ньютона): если действующая на материальную точку система сил уравновешена, то точка находится в покое, либо в состоянии прямолинейного и равномерного движения.

Система отсчета, в которой выполняется первый закон Ньютона называется инерциальной системой отсчета. Инерциальную систему отсчета можно считать неподвижной.

Система отсчета, не обладающая вышеуказанными свойствами, называется неинерциальной системой отсчета. В последней точка, на которую не действуют силы, движется с ускорением, и ее скорость может меняться как по величине, так и по направлению.

Основной закон динамики (второй закон Ньютона): сила, действующая на материальную точку, сообщает ей ускорение, которое в инерциальной системе отсчета пропорционально величине силы и имеет направление силы

Запись этого закона в векторной форме имеет вид:

, (1.1)

где – сила, действующая на точку, – её ускорение, m – масса точки.

Закон равенства действия и противодействия (третий закон Ньютона): две материальные точки взаимодействуют друг с другом с силами равными по величине и направленными в противоположные стороны вдоль одной прямой.

Закон независимости действия сил (закон суперпозиции сил): при действии на материальную точку нескольких сил ее ускорение равно сумме ускорений, которые имела бы точка при действии на нее каждой силы в отдельности.

Т. е. если

то

., .

(1.2)

Примеры решения задач

Задача 1

Деталь массой m = 0,5 кг скользит вниз по лотку. Под каким углом к горизонтальной плоскости должен располагаться лоток, для того чтобы деталь двигалась с ускорением a = 2 м/с²? Угол выразить в градусах.

Решение

На основе основного уравнения динамики для условия данной задачи запишем: .

Спроецируем это уравнение на ось Х:

OX: .

Ответ: .

Задача 2

Тело массой m = 50 кг, подвешенное на тросе, поднимается вертикально с ускорением a = 0,5 м/с². Определить силу натяжения троса.

Решение

Запишем основное уравнение динамики: . Для условия данной задачи запишем: .

Спроецируем это уравнение на ось Y:

OY:

Н.

Ответ: Н.

Две основные задачи динамики точки

Первая задача: зная массу точки и закон ее движения, определить действующие на данную точку силы.

Так, если движение точки задано в прямоугольной системе координат, то суть задачи состоит в следующем:

Дано: m, x = f (t), y = f (t), z = f (t).

----------------------------------------------------------

Определить: Fx, Fy, Fz.

Первая задача динамики точки решается методом дифференцирования ее уравнений движения.

Вторая задача: зная массу точки и действующие на нее силы, определить закон движения данной точки.

При задании движения точки в прямоугольной системе координат задача имеет вид:

Дано: m, Fx, Fy, Fz.

----------------------------------------------------

Определить: x = f (t), y = f (t), z = f (t).

Вторая задача динамики точки решается интегрированием уравнений, определяющих закон изменения силы. При этом следует иметь в виду, что сила, действующая на материальную точку может быть постоянной или зависеть от времени, координат движущейся точки, ее скорости и др.

Примеры решения задач

Задача 1

Материальная точка массой m = 1,4 кг движется прямолинейно по закону . Определить модуль равнодействующей сил, приложенных к точке.

Решение

Запишем основное уравнение динамики: .

Спроецируем это уравнение на ось Х:

OX: ; м/с; м/с²; Н.

Ответ: Н.

Задача 2

На материальную точку массой m = 200 кг, которая находится на горизонтальной поверхности, действует вертикальная подъемная сила . Определить время t, при котором начнется движение точки.

Решение

Запишем основное уравнение динамики: . Для условия данной задачи запишем: .

Спроецируем это уравнение на ось Y:

OY:

В момент отрыва и .

; с.

Ответ: с.

Задача 3

Материальная точка M массой m = 8 кг движется в горизонтальной плоскости по окружности радиуса R = 18 м. Определить угол α в градусах между силой и скоростью в момент времени, когда скорость точки V = 3 м/с, а касательное ускорение м/с².

Решение

Так как сила , то вектор силы совпадает по направлению с вектором полного ускорения, а скорость при движении по окружности направляется по касательной и совпадает с касательным ускорением, то угол α – это угол между касательным и полным ускорением.

; .

Ответ: .

Задача 4

Материальная точка массой m = 18 кг движется в горизонтальной плоскости по криволинейной траектории под действием силы Н. Определить радиус кривизны траектории в момент времени, когда скорость точки V = 4 м/с, а векторы скорости и силы образуют между собой угол .

Решение

Так как сила , то вектор силы совпадает по направлению с вектором полного ускорения, а скорость при движении по криволинейной траектории направляется по касательной и совпадает с касательным ускорением, то угол – это угол между касательным и полным ускорением.

; м/с²; ;

м.

Ответ: м.

Колебания материальной точки

Общим признаком всех колебательных движений является их многократная повторяемость через определенные промежутки времени. Колебательное движение материальной точки происходит при условии наличия восстанавливающей силы.

Восстанавливающая сила – сила, стремящаяся вернуть точку в положение равновесия.

Проекция восстанавливающей силы на ось Ox может быть найдена из выражения:

F_x = –c·x, (3.1)

где c – коэффициент пропорциональности.

Кроме восстанавливающей силы при колебаниях на точку может действовать также возмущающая сила, т. е. такая сила, которая зависит от времени. Обычно в качестве возмущающей силы рассматривают силу, проекция которой на ось Ox определяется следующим выражением:

, (3.2)

где H, p и δ – некоторые постоянные величины.

При колебаниях возникают силы сопротивления. Обычно эту силу рассматривают как функцию скорости движения точки и называют силой вязкого трения. При этом ее проекция на ось Ox определяется из выражения

, (3.3)

где b – коэффициент пропорциональности.

В зависимости от наличия восстанавливающей силы, возмущающей силы и силы сопротивления колебания материальной точки классифицируются следующим образом.

1) свободные колебания, при которых присутствует только восстанавливающая сила.

Дифференциальное уравнение свободных колебаний материальной точки имеет вид:

. (3.4)

где k – циклическая (круговая) частота колебаний (число колебаний за 2π секунд).

При колебании груза на пружине циклическая частота может быть определена:

. (3.5)

где с – жесткость пружины, m – масса груза

В случае свободных колебаний их период определится согласно выражению:

, (3.6)

2) Свободные колебания при вязком сопротивлении (затухающие колебания) – это колебания при наличии восстанавливающей силы и силы сопротивления.

3) Вынужденные колебания возникают когда в колебательном процессе участвуют восстанавливающая и возмущающая силы.

Примеры решения задач

Задача 1

Определить период свободных вертикальных колебаний груза массой m = 80 кг, который прикреплен к пружине с коэффициентом жесткости с = 2 кН/м.

Решение

Период колебаний определим по формуле: ,

где k – угловая частота свободных вертикальных колебаний:

с^-1. с.

Ответ: с.

Задача 2

Определить угловую частоту свободных вертикальных колебаний груза массой m = 2 кг, если коэффициенты жесткости пружин с₁ = с₂ = с₃ = 300 Н/м.

Решение

Угловая частота свободных вертикальных колебаний: ,

где – эквивалентная жесткость системы пружин.

Так как система состоит из пружин соединенных и последовательно и параллельно, то определим вначале эквивалентную жесткость параллельно соединенных пружин с₁₂: Н/м;

Далее определим последовательное соединение пружин:

; ;

Н/м.

с^-1.

Ответ: с^-1.

Дата добавления: 2019-02-13; просмотров: 403; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 4 5 6 7 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!