Граф структур и событий. Бифуркационная координата. Переходные матрицы и дифференциальные уравнения
У исследуемой системы можно выделить два характерных типа поведения.
Периоды сравнительно плавных изменений, когда система может быть приближённо описана как детерминированная и для её описания пригодны методы теории динамических систем (русла в терминологии Г.Г.Малинецкого). Этим периодам соответствуют рёбра графа структур и событий.
Периоды резких бифуркационных изменений – бифуркационные события – (джокеры в терминологии Г. Г. Малинецкого), в результате которых система может оказаться не в одном детерминированном, а с различной степенью вероятности в каждом из спектра возможных состояний, выбор одного из которых заранее не предрешён.
Приближённое графическое представление последовательности связанных между собой бифуркационных событий, которые уже произошли и которые ещё могут произойти, мы назвали графом структур и событий.
В графе структур и событий особо следует выделить текущий момент времени.
Позади него прошлое, события в котором уже свершились, впереди – будущее, которое должно быть предсказано с той или иной степенью вероятности. Предсказание будущего, получение знания о будущем – основная задача исследователя.
При анализе графа целесообразно выделить в качестве опорных два предельных случая.
Граф с бесконечной памятью
Пусть система устроена таким образом, что после каждого бифуркационного события она может оказываться только в новых состояниях, отличных от предыдущих. Причём, время и относительные вероятности реализации этих состояний известны.
|
|
|
Граф становится «математическим деревом».
Вероятность и амплитуду вероятности для каждого состояния в будущем можно вычислить как произведение относительных вероятностей или амплитуд по единственному пути, ведущему к данному состоянию в соответствии с рассмотренными выше формулами элементарной теории вероятностей.
Если мы знаем, в каком состоянии оказалась система в данный момент, то можем определить не только всю цепочку бифуркационных событий, которую она прошла, но и все их исходы. Поэтому такой граф назван нами графом с бесконечной памятью.
Однако, определение относительных вероятностей и моментов свершения будущих бифуркационных событий представляет отдельную задачу, решение которой относится к проблеме получения знаний. В случае графа с бесконечной памятью она практически неразрешима, если знания о будущем не даны нам априори.
Граф системы с конечным числом состояний
В этом случае появляется зависящая от времени матрица вероятностей перехода из одного состояния в другое при совершении серии бифуркационных событий. Если бифуркационные события происходят регулярно, то могут быть рассчитаны асимптотические статистические распределения вероятностей и определено асимптотическое значение энтропии системы в будущем.
|
|
|
Если частота бифуркационных событий в выбранном нами масштабе времени стремится к бесконечности, а число состояний системы становится большим, что чаще всего происходит в системах состоящих из большого числа элементов, то к исследованию графа структур и событий можно применять методы случайных процессов. Можно считать происходящие процессы непрерывными и для их изучения использовать стохастические и детерминированные уравнения сплошной среды.
Глава 6. Транспортно‑информационные системы
Переход от одной системы или структуры к совокупности систем или структур. Статистические закономерности
Одной из структурных координат графа структур и событий является иерархическая. Всякая сложная система обычно включает в себя большое количество элементов – квантов, являясь для них обобщённой волной и, в свою очередь, является квантом совокупности аналогичных систем, то есть включается в масштабную иерархию волн‑квантов. В этой иерархии структуры и системы, находящиеся на каждом её уровне обычно сохраняют свою индивидуальность и могут изучаться в соответствии с настоящей методикой. При этом остальные структуры и системы включаются в поле каждой из них. Взаимодействие с ними может рассматриваться как взаимодействие с полем.
|
|
|
Существование идентичных структур позволяет строить ветви графа структур и событий, принадлежащие к будущему, и упрощает изучение проблемы взаимодействия, позволяя в первом приближении считать, что кванты, входящие в обобщённую волну либо слабо взаимодействуют между собой, либо их взаимодействие подчиняется некоторым простым закономерностям, определяемым законами динамики математических групп (законами симметрии). Таким образом, изучаются объекты неживой природы и их основные состояния.
Однако, в более сложных случаях, соответствующих самоорганизующимся системам, между системой как обобщённой волной и её элементами (квантами) выстраивается масштабная иерархия подсистем, статистическое распределение параметров которых, как показывает практика, определяется степенными законами, а геометрия таких систем становится фрактальной, то есть самоподобной, – или квазифрактальной.
|
|
|
В резонансных случаях возникают всплески самоорганизации и фазовых переходов, характеризующихся логарифмическими законами распределения элементов в сложных системах.
Изучение степенных и логарифмических статистических закономерностей иерархических систем является одним из важнейших элементов синергетической методологии. Теория интаэросистем, теория самоорганизованной критичности, теория режимов с обострением, теория идеального трансформера, исследование комплексных динамических систем со степенными функциями от обобщённых координат, использование степенных и логарифмических функций для создания новых моделей роста и размножения живых объектов и многие другие направления исследований в этой области – всё это первые попытки решения этой фундаментальной проблемы самоорганизации сложных систем. В. П. Маслову удалось доказать математическую теорему, указывающую на универсальный характер экспоненциальных, степенных и логарифмических распределений элементов в транспортно‑информационных системах и определить условия перехода от одной формы распределения к другой.
Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 136; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!