Глава 3. Фазовое пространство динамической системы
Выбор основных координат, характеризующих систему, поведение которой близко к детерминированному, и качественный анализ фазового пространства, описывающего такую систему. Аттракторы системы и возможные бифуркации её фазового пространства
Однако анализа динамики одного, хотя и удачно выбранного, параметра целого чаще всего бывает недостаточно для полного исследования поведения сложной системы, особенно в тех случаях, когда выбранный параметр принимает устойчивое стационарное значение. Система существует и активно функционирует при постоянном значении параметра целого. В этом, случае можно ввести некоторые обобщённые координаты, изменение которых более подробно характеризуют динамику системы. При этом исследуемый объект может быть описан как динамическая система в некотором фазовом пространстве обобщённых координат.
Величина Xi,i=1,…, n, описывает изменение i‑й координаты. X, может включать несколько переменных, характеризующих действие этой координаты, а возможно, и целого континуума. Эти координаты собраны в вектор состояния Х(Х1, Х2, …).
Состояние изучаемого объекта в данный момент времени может быть задано точкой в некотором множестве X, в частности в n‑мерном многообразии, В этом случае изучаемому объекту соответствует некоторая n‑мерная динамическая система, а множество всех точек, соответствующих различным состояниям, называется n‑мерным фазовым пространством. Совокупность состояний данной системы в различные моменты времени формирует одномерное пространство (линию), называемую фазовой траекторией системы. Если фазовое пространство системы – n‑мерное гладкое многообразие, то фазовая траектория системы гладкая кривая (за исключением некоторых особых точек) и для её описания (а также для описания пучка траекторий, начинающихся из различных точек фазового пространства) может быть использован аппарат системы дифференциальных уравнений dX/dt = f(X,t). Здесь dX/dt – производная вектора X по времени.
|
|
|
Пусть мы имеем какое‑либо решение системы дифференциальных уравнений в виде Х(t) = Ф(Х0, t), где Х(t) – значения координат фазовой траектории, проходящей через точку Х0 в момент времени t0. В принципе, эта система уравнений может быть разрешена относительно t: t = Ф‑1(Х, Х0).
Предположим, что мы знаем состояние динамической системы в момент Tn, соответствующее точке Хn, и хотим определить состояние той же системы Xn+1 в момент Tn+1. Тогда, воспользовавшись предыдущими формулами, получим Xn+1= Ф(Х0, Тn+1) = Ф(Х0,Tn + (ΔT)n) = Ф{X0, [Ф‑1(X0, Хn) + (ΔTn]}.
Введем понятие оператора F, определяющего изменение системы Х во времени: Хn+1 = F(Xn). Оператор F порождает итерационный процесс и указывает преобразование состояния динамической системы Хn в момент времени Tn в её состояние Хn+1 в момент времени Tn+1.
|
|
|
В принципе, оператор F может быть введён в более общем случае, когда непрерывная зависимость от времени либо отсутствует вовсе, либо не может быть определена.
Основной идеей Г. Хакена, являющейся одной из основополагающих в Синергетике, является идея выделения среди обобщенных координат сложной системы нескольких наименее устойчивых мод, названных им главными модами или параметрами порядка, неустойчивость которых приводит к качественному изменению состояния всей системы, и таких координат, которые сами мало изменяются, однако которых изменяет характер устойчивости состояния основных мод. Они были названы управляющими параметрами.
Теория нелинейных динамических систем в настоящее время интенсивно развивается. Предложены различные формы классификации систем и их математических моделей. Введена терминология, которая активно внедряется в практику теоретических и экспериментальных исследований. Понятия фазового пространства, стационарной точки, цикла, тора, аттрактора, бифуркации, сепаратрисы уже давно вошли в обиход тех, кто использует результаты качественного анализа и расчётов параметров модельных динамических систем для исследования реальных явлений.
|
|
|
Выделение странных аттракторов. Количественный и качественный анализ поведения системы, находящейся в области странного аттрактора. Изучение эргодических свойств исследуемой системы
В настоящее время бурно развивается теория «странных» непериодических аттракторов, породившая новую терминологию: каскад бифуркаций, числа Фейгенбаума, фрактальная геометрия, множество Мандельброта, показатели Ляпунова.
Рассматриваются различные сценарии перехода от регулярного движения системы к детерминированному хаосу:
1. через каскад бифуркаций удвоения периода устойчивых циклов Фейгенбаума;
2. через разрушение неустойчивого трёхмерного тора с образованием странного аттрактора по сценарию Рюэля‑Такенса;
3. через явление перемежаемости (сценарий Помо‑Маннервиля).
Разработаны математические методы и алгоритмы, позволяющие говорить о становлении нового направления науки, которое в настоящее время называется «теорией детерминированного хаоса», и применять их при исследовании тех объектов, которые могут быть описаны с помощью математических моделей динамических систем.
|
|
|
Н. А. Магницким и С. В. Сидоровым предложена новая теория динамического хаоса в нелинейных диссипативных системах, утверждающая существование единственного универсального сценария перехода к хаосу и рождения сингулярных аттракторов в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений.
Особо следует выделить анализ эргодических свойств динамической системы, указывающих на возможность неоднозначного предсказания её будущего поведения даже для случая динамических систем, описываемых детерминированными уравнениями.
Глава 4. Анализ поля системы
1. Классификация волн, вихрей, грибовидных (мультипольных) структур и транспортно‑информационных систем
Всякая самоорганизующаяся система является открытой системой, обменивающейся с окружающей средой (полем) материей, энергией и информацией. Этот обмен может происходить непрерывно и дискретно. Взаимодействие с внешней средой может способствовать как сохранению структуры, так и её разрушению. Поэтому адекватное и полное описание самоорганизующихся систем возможно лишь совместно с окружающей средой – полем, в котором существует система.
Поле системы может также рассматриваться как новая система. В частности, для него может быть выбран параметр целого и выполнен эмпирический анализ его динамического изменения от времени. Поле может во многих случаях определять управляющие параметры системы.
Введение при анализе взаимодействия системы и поля времени как основного параметра позволяет обратить внимание на одну очень важную особенность взаимодействия структуры и ее поля – на волновой характер выделяемых нами из окружающей природы структур.
Более детальное качественное и количественное исследование полей в большинстве случаев, в отличие от исследования отдельной структуры или системы должно проводиться не в рамках конечномерных, а в рамках континуальных моделей, то есть для описания поля должен быть использован глубоко развитый аппарат линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и связанных с ними бесконечномерных математических групп преобразований, а также конечно‑разностных систем уравнений.
Однако прямое получение решений этих уравнений для данной конкретной системы на первом этапе исследований во многих случаях оказывается нецелесообразным, а иногда и невозможным, ввиду трудностей, связанных с построением системы дифференциальных уравнений или конечноразностных итерационных процессов.
Более адекватным является использование качественных методов, которые, в частности, включают классификацию волновых структур, порождаемых континуальными полями.
Нами предложена классификация волновых движений, структур и систем, опирающаяся на их общие волновые свойства, в рамках которой удалось проследить за характером влияния нелинейности на переход классических линейных волновых движений в динамические структуры и сложные самоорганизующиеся транспортно‑информационные системы.
Классификация проводится по трём параметрам.
Классификация по типу:
1. Обобщённые волны, представляющие собой классы идентичных или почти идентичных объектов (квантов).
2. Вероятностные волны, характеризующие изменение плотности вероятности отыскания системы или структуры в одном из возможных для неё состояний из континуума возможных состояний системы.
3. Классические волны в сплошной среде, характеризующие изменение во времени и пространстве плотности какого‑либо параметра или связанной между собой совокупности параметров сплошной среды.
Классификация по характеру взаимодействия с другими системами, аналогичная классификации конечномерных динамических систем
1. Свободные (собственные) волны.
2. Вынужденные волны.
3. Автоволны.
Классификация по степени нелинейности
1. В качестве первого класса рассматриваются все волны относительно малой амплитуды, математическое описание которых может быть дано в виде совокупности решений линейных волновых уравнений в частных производных.
2. Ко второму классу, названному нами умеренно‑нелинейными волнами, отнесены различные формы ударных волн в сплошных средах, солитоны, а также скачки тех или иных параметров в однородной среде и границы раздела сред. В качестве подкласса данного класса могут быть рассмотрены диссипативные континуальные структуры и структуры, формируемые в результате возникновения режимов с обострением.
3. К третьему классу, названному вихревыми ударными волнами, отнесены вихревые структуры, формируемые вследствие пространственной потери устойчивости фронта и формы умеренно нелинейных волн.
4. К четвертому классу, названному грибовидными структурами, отнесены структуры мультипольной природы, формирующиеся из вихревых структур и вторичных умеренно‑нелинейных волн – вихревых пелен. Различные модификации и комбинации структур такого типа составляют основу практически всех объектов живой и неживой природы.
5. К пятому классу отнесены структуры, названные нами древовидными, бифуркационная динамика которых может быть описана методами математической теории сетей и графов, в частности при помощи теории математических деревьев.
6. К шестому классу мы отнесли сложные самоорганизующиеся системы, названные нами транспортно‑информационными, и являющиеся, в основном, результатом трансформации и взаимодействия грибовидных и древовидных структур и волн более низких классов.
Несмотря на то, что четвертый, пятый и шестой классы структур и систем встречаются и в неживой природе, наиболее широко они распространены в биологических объектах. Поэтому общие закономерности их динамики оказываются важными не только для физики и химии, но и, главным образом, для биологии и наук о человеке и обществе.
Изучаемая структура или система и её поле на этом этапе исследований должна быть отнесена к тому или иному классу.
2. Вихре‑волновой резонанс
Предложенная классификация позволила объяснить ряд новых физических явлений, обнаруженных при исследовании взаимодействия сложных систем и их полей, как резонансное волновое взаимодействие вихревых и грибовидных структур между собой или с волновыми структурами поля, в результате которого возникают новые аномальные явления и формируются новые структуры и системы.
В последние годы было открыто и широко исследовано резонансное взаимодействие поверхностных и внутренних гравитационных волновых движений в стратифицированной жидкости или газе.
Нами была высказана гипотеза о возможности возникновения аналогичных резонансных явлений также при взаимодействии свободных вихрей и вихревых структур, а также каверн и отрывных зон, формирующихся при движении тел в неоднородной сплошной среде (поле), с диспергирующими внутренними волнами и другими типами волновых движений, а также при взаимодействии волновых структур различных классов между собой.
При теоретическом обосновании предложенной гипотезы была использована изложенная выше классификация волн, вихрей, структур и систем, на основании которой были определены необходимые условия резонанса, названного нами вихре‑волновым (или структурно‑волновым), состоящие в том, что скорости и размеры взаимодействующих структур должны быть близки. Теоретические расчеты и экспериментальные исследования частных проявлений вихре‑волнового резонанса подтвердили высказанную гипотезу.
Экспериментально и теоретически вихре – волновой резонанс исследовался при движении в неоднородной среде несимметрично обтекаемых тел – крыльев. В этом случае возникают две вихре – волновые структуры:
а) вихревой пограничный слой на поверхности крыла и вихревой след за ним;
б) диспергирующие поверхностные и внутренние волны в неоднородной среде.
Проблема их взаимодействия частично поддается математическому моделированию. Для резонансного режима движения были выполнены расчеты характеристик потока при взаимодействии возникающих вблизи крыла вихревых структур с возбуждаемыми движением крыла присоединенными внутренними и поверхностными волнами. Результаты расчётов показали, что даже при установившемся движении крыла в неоднородной среде, если длина хорды крыла близка к полудлине присоединенной к движущемуся крылу гравитационной волны, в потоке жидкости или газа должны возникать аномальные возмущения, приводящие к появлению новых резонансных структур.
При этом с уменьшением относительного скачка плотностей при сохранении размеров движущегося тела скорость его движения, соответствующая резонансному режиму, также уменьшается, тем не менее, кинематические возмущения, связанные с проявлением вихре‑волнового резонанса, сохраняют свою интенсивность.
Если отношение плотностей сред, разделяемых границей, стремится к нулю, то относительная скорость, при которой возникает резонанс, также стремится к нулю.
Этот результат, хотя ему и может быть найдено разумное теоретическое объяснение, УДИВИТЕЛЕН и, по нашему мнению, чрезвычайно значим: малые флуктуации плотности и малые скорости относительного движения могут привести, благодаря вихре‑волновому резонансу, к значительным возмущениям в стратифицированной среде. Аналогичные явления могут происходить вблизи подводных хребтов или горных массивов на поверхности Земли при наличии незначительных скачков плотности, вызываемых сравнительно слабыми ветрами и течениями.
Вихре‑волновой резонанс может быть также причиной бифуркационных событий, о которых мы будем говорить несколько ниже.
Так как диапазон параметров движения, порождающего вихре‑волновой резонанс, очень узок, то сам резонанс требует создания специальных условий для своего изучения.
Тем не менее возмущения, им вызванные, настолько велики, что могут явиться причиной аварий глубоководных аппаратов или самолетов, летающих в горных областях.
Вихре‑волновой и структурно‑волновой резонанс обнаружен экспериментально и теоретически также в ряде других случаев взаимодействия вихревых и волновых структур (например, при кавитационном обтекании несимметричных тел, когда длина присоединенной к телу паровой или газовой каверны близка к длине тела, при обтекании плохообтекаемых тел, ниш и отверстий, при взаимодействии концентрированных вихрей с внутренними волнами в неоднородной жидкости или газе).
Во всех этих случаях не только наблюдались аномально большие возмущения параметров потока (поля), но и формировались новые типы устойчивых структур, не наблюдавшиеся при обычных условиях.
Возникшие резонансные структуры могут оказаться достаточно устойчивыми и существовать долго, «забывая» о своём происхождении.
Исходя из вышеизложенного, можно предположить, что появление резонансов подобного типа возможно при различных природных явлениях, в которых присутствует неоднородная сплошная среда (поле) и движущиеся в ней объекты, вихревые и грибовидные (мультипольные) структуры, и транспортно‑информационные системы. А эти условия повсеместно встречаются в природе, на различных масштабных уровнях иерархии.
Структурно‑волновой резонанс может явиться одним из главных механизмов возникновения и стабилизации новых структур от наномасштабов до масштабов Вселенной – то есть одной из причин структуре – и системоформирования, особенно у биологических объектов и в социальных системах.
Поэтому условия его возникновения и особенности этого типа процессов имеют особое значение при качественном анализе взаимодействия исследуемой системы и поля.
Поиск аномальных состояний динамических систем, в частности, транспортно‑информационных, которые могут быть вызваны явлением структурно‑волнового резонансного взаимодействия или аналогичных ему, должен войти как неотъемлемая часть в синергетическую методологию исследования сложных систем.
Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 405; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!