Качественный анализ и численное решение одномерной математической модели динамики объекта

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 12Следующая ⇒

Качественный анализ итерационной системы или нелинейного дифференциального уравнения позволяет ещё до их решения определить особенности поведения моделируемой системы как нелинейного объекта не только в прошлом и настоящем, но и в будущем.

Начнём анализ с автономной итерационной системы.

Выполнение условия _n = F(_n) означает, что система находится в стационарном состоянии.

Стационарное состояние называется устойчивым и обозначается ^SU, если существует некоторая область (окрестность ^SU) в фазовом пространстве такая, что, как только процесс в какой‑то момент времени пришел в состояние из этой области, то он начинает стремиться к устойчивому стационарному состоянию параметра целого ^SU. Если такой области нет, т. е. если микроотклонение от точки, соответствующей стационарному значению ^SU, приводит к существенным макроизменениям в течении процесса, состояние системы является неустойчивым стационарным состоянием.

В общем случае график ₂ = F(₁), соответствующий итерационному соотношению, иллюстрирует закон эволюции системы и позволяет определять стационарные состояния системы и их тип.

Если кривая ₂ = F(₁), определяемая соответствующим итерационным соотношением _n+1 = F(_n), пересекает прямую ₂ = ₁, в точке ^S и |F¹(₁)| < 1, то ^S – устойчивая стационарная точка, а если |F¹(₁)| > 1, то неустойчивая. Рассмотрим подробнее математическую модель автономного дифференциального уравнения первого порядка d = f(. Его общее решение имеет вид.

Если для какой‑либо структуры в определенные моменты удалось экспериментально определить как величину выбранного нами параметра целого, так и его производной по времени, то затем, аппроксимируя функцию f(, например, при помощи дробно‑рациональной функции

можно найти коэффициенты аппроксимации a_i, b_i, соответствующие экспериментальным данным.

Во многих случаях поведение системы вблизи особых точек, соответствующих нулям или полюсам функции f(описывается степенной функцией с рациональным или иррациональным показателем степени или логарифмической функции. При этом появляется многозначность поведения исследуемой модели. Величины f(могут одновременно с различной степенью вероятности принимать конечное или бесконечное множество действительных и комплексных значений, физический смысл которых для реальных систем должен быть специально уточнён.

Экспериментальные данные показывают, что большинство структур после периода бурного роста выходят на стабильный режим. в котором структура находится значительное время.

Этот процесс можно описать, используя квадратичную функцию f(.

Рассмотрим так называемое логистическое уравнение, которое было подробно изучено в связи с анализом роста и стабилизации популяций животных, однако имеет широкое применение при исследовании различных систем. Оно имеет вид d = f(1‑.

Описываемый этим уравнением процесс имеет две стационарные точки =0 и = 1. Точка =0 неустойчива; это значит, что новые структуры могут появляться, в частности, при потере устойчивости старых. Точка =0 устойчива. Фазовая плоскость уравнения – зависимость d от , представляющая собой параболу, наиболее сжато и полно характеризует особенности процесса.

В некотором смысле логистическое уравнение универсально, так как его интегральные кривые описывают процесс перехода динамической системы из одного – неустойчивого состояния в другое – устойчивое. Оно также характеризует типичный процесс роста и стабилизации структур различной природы. Его решение в случае < 1 имеет вид.

При стремлении к нулю в момент начала роста структуры логистическая кривая асимптотически приближается к экспоненциальной. Однако, по мере увеличения меры в структуре, описываемой этой кривой, развиваются процессы, препятствующие дальнейшему экспоненциальному росту структуры, и вблизи 0,5 различие кривых становится существенным. Логистическая кривая выходит на асимптоту = 1, а экспоненциальная кривая уходит вверх.

Этот закон является простейшим законом, описывающим непрерывным образом формирование новых структур.

Существуют и другие дифференциальные уравнения, решения которых дают функции, позволяющие смоделировать плавный переход из одного состояния в другое. В частности, при анализе роста и размножения биологических объектов нами было получено дифференциальное уравнение d = ‑ обладающее теми же стационарными точками, что и логистическое уравнение, но позволяющее вместе со своим аналогом, итерационным соотношением со степенной правой частью единым образом описывать рост и размножение объектов.

Во многих случаях процесс роста сложных систем происходит не непрерывно, а путём размножения элементов системы или поглощения растущей системой новых элементов. Если скачки параметра целого малы, то в первом приближении этот дискретный процесс может быть заменён непрерывным, и для его описания может быть использован аппарат дифференциальных уравнений, в противном случае для описания динамики роста и стабилизации структур может быть использован аппарат итерационных соотношений.

Устойчивые стационарные точки фазовой плоскости или графика, представляющего решение системы итерационных соотношений, обычно являются пределом, к которому стремятся фазовые траектории системы. Такие точки называются аттракторами.

Аттракторами могут быть не только устойчивые стационарные точки, но и замкнутые траектории циклического типа (циклы и торы). В последние годы открыты и в настоящее время интенсивно изучаются ациклические аттракторы, названные странными.

Следующим этапом исследования является численное решение полученных уравнений. Численное решение совместно с качественным анализом позволяет строить не только зависимость меры от времени, которая была в прошлом, и сопоставить полученные данные с результатами наблюдений, но и предсказывать характер этой зависимости, которого следует ожидать в будущем.

Однако, учитывая наши предыдущие рассуждения, можно утверждать, что точное определение параметра целого системы в подавляющем большинстве случаев невозможно. Любое детерминированное математическое описание, использующее дифференциальные уравнения или итерационные процессы должно сопровождаться дополнительным к нему вероятностным описанием, характеризующим меру и характер распределения отклонения реальной величины параметра целого от его расчётного значения. Существование такой двойственности приводит к необходимости рассмотрения третьей величины, характеризующей структуру и её модель. Этой величиной может являться соотношение мер, определяемое некоторой функцией от параметра целого и меры его вариации. Элементы указанной триады в зависимости от ситуации и способа рассмотрения могут меняться местами.

Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 182; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!