Интегрирование функций комплексного переменного.

Задача 55. Вычислить по отрезку от 0 до .

Решение. = = =

а это уже 2 криволинейных интеграла второго рода от различных векторных полей. Причём на вертикальном отрезке, соединяющем 0 с точкой , фиксировано , а значит и , т.е. исчезают все слагаемые, где есть или .

При этом . Итак, = = = = .

Ответ. .

Задача 56. Вычислить по окружности радиуса .

Решение. Изначально преобразование с раскрытием скобок точно такое же, как и в прошлой задаче: = = = .

Дальше, криволинейные интегралы вычисляются иначе из-за того, что другая кривая. На окружности наилучший способ задать точку - параметрически: , . При этом .

Также вычислим дифференциалы: , .

= = = .

Ответ. .

Задача 57. Вычислить по отрезку от 0 до .

Решение. Способ 1. Без формулы Ньютона-Лейбница.

= =

Далее используем явное выражение , так как отрезок соединяет точки (0,0) и (1,2). При этом , .

= = .

Способ 2. По формуле Ньютона-Лейбница.

Заметив, что функция аналитическая, т.е. для неё выполняются условия Коши-Римана, можно не раскрывать скобки предыдущим способом, а вычислить первообразную по в начальной и конечной точке.

= = , а дальше всё сводится просто к вычислению степени комплексного числа.

= , тогда

= .

Ответ.

Задача 58. Вычислить по участку единичной окружности в 1-й четверти от 1 до .

Решение. Здесь тоже можно вычислять как без, так и по формуле Ньютона-Лейбница. Но разница в объёме вычислений будет огромная, в несколько раз в данном случае.

Способ 1. = =

, далее используем параметрические выражения , , где .

здесь в двух слагаемых из 4 можно применить подведение под знак дифференциала, а в двух других, где третья степень - замену (при нечётной степени косинуса замена , при нечётной степени синуса ).

Итак, =

= =

= .

Способ 2. Так как функция аналитическая, нам не важно, соединены точки по дуге окружности или по какой-то другой линии, на самом деле результат зависит только от первообразной в начальной и конечной точках.

= = = = .

Ответ. .

Задача 59. Вычислить по отрезку от 0 до .

Решение. Так как , то функция не аналитическая, т.к. частные производные от будут какие-то функции, а от нулевые, и точно не не будет совпадений, которые нужны для условий Коши-Римана. Поэтому формулу Ньютона-Лейбница здесь применить нельзя, а только универсальный способ с разложением на . Отрезок от (0,0) до (1,3), он характеризуется явным уравнением , при этом , .

= = =

= =

= .

Ответ. .

Задача 60. Вычислить .

Решение. Здесь сумма степенных функций, они являются аналитическими. Поэтому используем формулу Ньютона-Лейбница.

= = .

Отдельно вычислим ,

Тогда = .

Ответ. .

Задача 61. Вычислить .

Решение. = = .

Вычислим квадрат и куб этого числа. ,

= .

Тогда = =

Ответ. .

Задача 62. Вычислить .

Решение. Можно применять формулу Ньютона-Лейбница, так как функция аналитическая.

, тогда:

, .

= = = = =

= .

Ответ. .

Практика № 8. 22 и 25.10.2018

Интегральная формула Коши.

Следующая серия задач решается с помощью формул Коши:

и .

Здесь будут комбинированные задачи, состоящие из нескольких подзадач, где контур проводится сначала вокруг той или иной точки разрыва, а затем вокруг всех этих точек.

Задача 63. Вычислить , где контур :

А) Б) В) .

Решение. В знаменателе разложим на множители, и станет видно, что корни многочлена там 2 и .

= .

Если контур радиуса 0,5 окружает одну из точек, то надо применить интегральную формулу Коши, где точка одна из них, а именно, в первом пункте , а во втором . Надо убрать из знаменателя соответствующую скобку, и присвоить конкретное вместо в оставшейся части функции.

А) = = = = = .

Б) = = = = = .

В) В третьем пункте, где контур окружает уже обе точки, достаточно будет воспользоваться теоремой Коши и суммировать результаты двух предыдущих пунктов. Получится .

Ответы. А) Б) В) .

Задача 64. Вычислить , где контур :

А) Б) В) .

Решение. В 1 пункте здесь корень 2 соответствует , а во втором корень 0, но он имеет кратность 2, поэтому надо будет сделать по обобщённой интегральной формуле Коши, то есть с помощью производной.

А) = = = .

Б) Здесь корень 0, он соответствует множителю , который, впрочем, можно было бы записать в виде скобки .

Конкретизируем обобщённую формулу Коши для 2 степени:

, при n=1:

Тогда = = =

= = .

В) Здесь внутри контура обе особые точки, рассмотренные в предыдущих пунктах. По интегральной теореме Коши просто складываем результаты, полученные в 2 предыдущих пунктах. Получаем .

Ответы. А) Б) В) .

Задача 65. Вычислить , где контур :

А) Б) В) Г) .

Решение. В каждом случае применяем интегральную формулу Коши к той или иной точке разрыва функции, 2, 3 и 5. Убирая соответствующий множитель из знаменателя, затем подставляем в оставшуюся часть функции это число.

А) = = .

Б) = = .

В) = = .

Г) + = 0 .

Ответы. А) Б) В) Г) 0.

Задача 66. Вычислить , где контур :

А) Б) В) .

Решение.

А) = = = .

Б) В этом случае корень знаменателя имеет кратность 3, так что придётся считать с помощью 2-й производной.

Конкретизируем обобщённую формулу Коши для 3 степени:

, при n=2: . Тогда = =

= = = = = = .

В) = 0 .

Ответы. А) Б) В) 0 .

Задача 67. Вычислить , где контур :

А) Б) В) .

Решение.

А) = = = 0.

Б) = = = = .

В) 0+ = .

Ответы. А) 0 Б) В) .

Задача 68. Вычислить , где контур :

А) Б) В) Г) .

Решение. Так как здесь в интеграле уже изначально есть множитель , то домножать на в правой части не нужно.

А) = = .

Б) = = .

В) В отличие от двух первых точек, здесь в знаменателе корень 2-го порядка, поэтому подставляем не сразу, а после вычисления производной.

= = = = = = .

Г) По интегральной теореме Коши, сумма интегралов по трём предыдущим контурам: + = 0 .

Ответы. А) Б) В) Г) 0.

Повторение и самостоятельная работа по задачам:

1) Разложение в виде и проверка условий Коши-Римана.

2) Восстановление аналитической функции по одной её части

(u или v).

Практика № 9. 29.10.2018

Завершение темы «интегрирование» и самостоятельная:

1) Интеграл по незамкнутой кривой (как в задачах 55-59).

2) Интеграл по замкнутой кривой (как в задачах 63-68).

Задача 69. Вычислить .

Решение. Несмотря на то, что здесь интеграл по замкнутому контуру, применять интегральную формулу Коши нельзя, ведь функция не аналитическая, т.е. аналитичность нарушена не в изолированных точках, а во всей плоскости.

Сделаем разложение функции на Re и Im.

= = = =

После этого введём обычную для такой единичной окружности параметризацию через : , где .

При этом . После того, как выразим через , получается такое выражение, записанное в две строки:

Если привести подобные, то:

далее в действительной части используем формулу понижения степени, а в мнимой части подведение под знак дифференциала.

в мнимой части все интегралы окажутся 0, так как на верхнем и нижнем пределе 0 и , а тригонометрические функции совпадают в точках, отличающихся на , значит, формула Ньютона-Лейбница приведёт к 0.