Глава 2. Теория функций комплексного переменного.

Действия над комплексными числами.

Задача 32. Возвести в степень .

Решение. Чертёж:

Катеты имеют длину и , поэтому в полярных коорданатах:

, .

Тогда в показательной форме, а тогда =

= = далее раскроем по формуле Эйлера: , но синус и косинус не зависят от добавления и вычитания полного оборота , поэтому получается = = . Ответ. .

Задача 33. Вычислить в показательной форме .

Решение.

Для 1-го числа: , (та же точка, как в прошлой задаче).

Для 2-го числа: , . Тогда = = = = , прибавим , для удобства вычисления. Итак, = .

Ответ. .

Задача 34. Вычислить .

Решение. Представим в показательной форме каждое из чисел.

, и , . Тогда

= = = здесь в числителе прибавили угол , кратный , а в знаменателе отняли . Далее, = = = = = = .

Ответ. .

Домашняя задача. Вычислить . Ответ.

Задача 35. Вычислить

Решение. Формула: .

Сначала найдём модуль и аргумент исходного числа.

(т.к. 90 градусов и ещё 30 во второй четверти),

Тогда = = таким образом, 4 точки лежат на окружности, углы 30⁰, 120⁰, 210⁰, 300⁰ (по +90⁰ добавить 4 раза). Отмечены на чертеже зелёным. Здесь 4 корня:

: = = .

Чертёж:

Ответ. и .

Задача 36. Дано . Найти .

Решение. = = = .

Ответ. .

Задача 37. Дано . Найти .

Решение. = = . Далее с помощью прямоугольного треугольника вычислим . Если надо найти синус и косинус того угла, тангенс которого равен 3, то сначала подпишем длины катетов по известному тангенсу, гипотенуза вычислится автоматом по теореме Пифагора, а далее будет уже известны синус и косинус.

= = .

Ответ. .

Задача 38. Дано . Найти .

Решение. = =

. Делаем аналогично тому, как в прошлой задаче, просто треугольник здесь во 2 четверти (угол отмеряется от 180 в обратном направлении).

Но гипотенуза всё равно легко вычисляется по теореме Пифагора: , тогда = .

Ответ. .

Задача 39. Найти все значения .

Решение. Используем формулу .

= . Таким образом, это точки в комплексной плоскости, имеющие вид: , , , ...

Ответ. .

Задача 40. Найти все значения .

Решение. Используем формулу .

Для числа , , . Тогда

Чертёж: бесконечная последовательность точек, на уровне абсциссы

, по высоте каждая пара соседних отличается на .

Ответ. .

Динамическая анимация, показывающая поведение значений в зависимости от колебаний модуля или аргумента , показана в следующем обучающем видеоролике:

http://www.youtube.com/watch?v=LKFFn-TSLd0

Практика № 6. 8 и 11.10.2018

Функции комплексного переменного

Задача 41. Вычислить .

Решение. Применяем формулу , где аргумент вместо подставим . Тогда = = .

Ответ. .

Заметим, что , то есть модули значений косинуса вне действительной оси не ограничены отрезком .

Задача 42. Решить уравнение .

Решение. .

Введём замену , при этом получаем

. Задача разбивается на 2 шага

1) решим это уравнение и найдём ,

2) учитывая , запишем и далее найдём .

Квадратичное уравнение решаем через дискриминант, здесь , тогда . Оба значения - положительные действительные числа, т.е. им соответствует аргумент .

Далее,

. Это две бесконечных последовательности точек, одна выше а другая ниже действительной прямой. По горизонтали расстояние между соседними ровно .

Чертёж:

Замечание. Если число в правой части уменьшать до 1, то обе эти последовательности сближаются и в итоге соединятся в одну, расположенную на действительной прямой. Это будут в таком случае уже давно знакомые решения равенства , т.е. .

Общий случай. Если то , , . Тогда , что при порождает .

В следующей серии задач надо функцию представить в виде .

Задача 43. Функцию представить в виде .

Решение. = = =

= = .

Поэтому , .

Заметим, что здесь нарушено уже даже 1-е условие Коши-Римана:

, .

Ответ. , .

Задача 44. представить в виде .

Решение. = = , .

Заметим, что условия Коши-Римана не выполнены:

, .

Ответ. , .

Задача 45. представить в виде .

Решение. =

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые, чтобы сначала шли именно те, в которых нет мнимой единицы , а затем те, в которых она есть.

= =

. .

Ответ. . .

Задача 46. представить в виде .

Решение. = = =

Далее по формуле Эйлера = =

Ответ. , .

Задача 47. представить в виде .

Решение. = =

Домножили на сопряжённое, чтобы в знаменателе получилось некое единое действительное число, а разбиение на Re и Im осталось только в числителе. Тогда дробь можно будет разбить на сумму или разность двух дробей.

= = ,