Иррациональные уравнения, содержащие знак модуля

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

Простейшие уравнения с модулем имеют вид: и ; будем их решать на основании определения модуля сведением к совокупности систем.

Пример 19. Решить уравнение .

Решение: Уравнение имеет решение только при условии, что правая часть уравнения неотрицательна, т.е. . Однако, при подкоренное выражение отрицательно. Таким образом, , т.е. модуль раскрывается однозначно «с плюсом». Получаем равносильное уравнение . Возводя в квадрат, получим уравнение , корни которого . Второй корень – посторонний.

Ответ:

Пример 20. Решить уравнение .

Решение: Так как левая часть уравнения при всех допустимых значениях аргумента неотрицательна, то и правая должна быть неотрицательной, т.е. . Тогда модуль раскрывается однозначно: . Получаем уравнение . Возводя в квадрат, получаем равносильное уравнение как в примере 19 с тем же условием на аргумент. Поэтому

Ответ:

Пример 21. Решить уравнение .

Решение: Важно помнить, что , а равенство верно, только если Вы точно знаете, что .

Уравнение теперь легко решается .

Ответ: .

Методы решения иррациональных неравенств

Иррациональные неравенства – довольно сложный раздел школьного курса математики, и на его изучение отведено крайне мало времени. Решение иррациональных неравенств осложняется тем обстоятельством, что здесь, как правило, исключена возможность проверки, поэтому надо стараться делать все преобразования равносильными.

Чтобы избежать ошибок при решении иррациональных неравенств, следует рассматривать только те значения переменной, при которых все входящие в неравенство функции определены, то есть найти ОДЗ этого неравенства, а затем обоснованно осуществлять равносильный переход на всей ОДЗ или ее частях.

При решении иррациональных неравенств следует запомнить правило: при возведении обеих частей неравенства в нечетную степень всегда получается неравенство, равносильное данному неравенству.

Если обе части неравенства возводят в четную степень, то получится неравенство, равносильное исходному только в том случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны.

Основным методом решения иррациональных неравенств является сведение исходного неравенства к равносильной системе или совокупности систем рациональных неравенств.

Иррациональное неравенство или равносильно системе неравенств

или . (1)

Иррациональное неравенство или равносильно совокупности двух систем неравенств

или . (2)

Иррациональное неравенство или равносильно системе неравенств

или . (3)

Пример 22. Решить неравенство .

Решение: Как и в предыдущем примере, заметим, что правая часть данного неравенства отрицательна, а левая часть исходного неравенства неотрицательна при всех значениях x, при которых она определена. Это означает, что левая часть больше правой части при всех значениях x, удовлетворяющих условию .

Ответ: .

Пример 23. Решить неравенство .

Решение: Это неравенство может быть решено при помощи схемы (1). Система, равносильная исходному неравенству, имеет вид

Ответ: .

Пример 24. Решить неравенство .

Решение: Данное неравенство можно решать с помощью схемы (2).

Обратите внимание, что при отрицательной правой части неравенство «в сторону больше» всегда верно в ОДЗ.

Неравенство равносильно совокупности двух систем

Ответ: .

Пример 25. Решить неравенство .

Решение:Согласно схеме (3), данное неравенство равносильно системе

Ответ:

Пример 26. Решить неравенство .

Решение: Перенесем второй радикал в правую часть, чтобы обе части неравенства стали неотрицательными, и его можно было возвести в квадрат:

Мы пришли к простейшему стандартному неравенству, которое согласно схеме (1) равносильно системе:

Ответ: .

Замечание. При получении неравенства не выписывали допустимые значения неизвестного, так как там фигурировал , который существует при , но при этих значениях существует и .

Пример 27. Решить неравенство .

Решение: Начнем с отыскания допустимых значений неизвестного:

Заметим, что для избавления от радикала достаточно возвести данное неравенство в квадрат. Но для этого необходимо, чтобы обе части его были неотрицательны, что выполняется лишь при выполнении условия (так как все остальные выражения, входящие в неравенство, неотрицательны). Но при этом условии можно умножить данное неравенство на положительное выражение .

Итак, если , данное неравенство преобразуется и решается так:

В том случае, когда , данное неравенство будет выполняться, так как его отрицательная левая часть станет меньше положительной правой и все такие x входят в ОДЗ.

Ответ: .

Пример 28. Решить неравенство .

Решение: Найдем ОДЗ:

Умножим обе части данного неравенства на выражение, сопряженное его левой части и, очевидно, положительное в ОДЗ:

Дальнейшее решение зависит, очевидно, от знака множителя .

Если он меньше нуля, то есть , сократив на этот отрицательный множитель (при этом меняется знак неравенства), переходим к неравенству: , из которого получаем прямым возведением в квадрат (ведь обе части этого неравенства положительны)

Отсюда с учетом ОДЗ и убедившись, что , находим:

Во втором случае, если множитель положителен (то есть при ), после сокращения на него получаем неравенство , которое очевидно выполняется при , так как

Осталось указать, что в третьем возможном случае – если общий множитель равен нулю, – неравенство не выполняется: мы получаем тогда , что неверно.

Ответ: .

Иногда удается иррациональную функцию, входящую в неравенство, заменить новой переменной таким образом, что относительно этой переменной неравенство становится рациональным.

Пример 29. Решить неравенство .