Использование графиков функций
При решении уравнений иногда полезно рассмотреть эскиз графиков их правой и левой частей в одной и той же системе координат. Тогда этот эскиз графиков поможет выяснить, на какие множества надо разбить числовую ось, чтобы на каждом из них решение уравнения (или неравенства) было очевидно.
Обратим внимание, что эскиз графика лишь помогает найти решение, но писать, что из графика следует ответ, нельзя, ответ еще надо обосновать.
Пример 15. Решить уравнение 
.
Решение: ОДЗ данного уравнения есть все 
из промежутка 
.
Эскизы графиков функций 
и 
представлены на рисунке 1.
 |
Проведем прямую 
. Из рисунка следует, что график функции 
лежит не ниже этой прямой, а график функции 
не выше. При этом эти графики касаются прямой 
в разных точках. Следовательно, уравнение не имеет решений. Докажем это. Для каждого 
имеем 
, а 
. При этом 
только для 
, а 
только для 
. Это означает, что исходное уравнение не имеет корней.
Ответ: Корней нет.
Тождественные преобразования при решении иррациональных уравнений
При решении иррациональных уравнений и неравенств часто приходится применять тождественные преобразования, связанные с использованием известных формул. К сожалению, эти действия иногда столь же небезопасны, как уже рассмотренное возведение в четную степень, – могут приобретаться или теряться решения.
Рассмотрим несколько ситуаций, в которых эти проблемы наступают, и научимся их распознать и предотвращать.
|
|
|
I. Пример 16. Решить уравнение 
.
Решение: Здесь применима формула 
.
Только необходимо задуматься о безопасности ее применения. Нетрудно видеть, что ее левая и правая части имеют разные области определения и что это равенство верно лишь при условии 
. Поэтому исходное уравнение равносильно системе
Решая уравнение этой системы, получим корни 
и 
. Второй корень не удовлетворяет совокупности неравенств системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения.
Ответ: 
.
II. Следующее опасное преобразование при решении иррациональных уравнений, определяется формулой 
.
Если пользоваться этой формулой слева направо, расширяется ОДЗ и можно приобрести посторонние решения. Действительно, в левой части обе функции и 
должны быть неотрицательны; а в правой неотрицательным должно быть их произведение.
Рассмотрим пример, где реализуется проблема с использованием формулы 
.
Пример 17. Решить уравнение 
.
Решение: Попробуем решить это уравнение разложением на множители
.
Заметим, что при этом действии оказалось потерянным решение 
, так как оно подходит к исходному уравнению и уже не подходит к полученному: 
не имеет смысла при 
. Поэтому это уравнение лучше решать обычным возведением в квадрат
|
|
|
Решая уравнение этой системы, получим корни 
и 
. Оба корня удовлетворяют неравенству системы.
Ответ: , .
Вывод. Есть два пути. Или аккуратно возводить уравнение в квадрат, или безошибочно определять, какие решения могли быть потеряны, и проверить, не случилось ли этого на самом деле.
III. Существует еще более опасное действие – сокращение на общий множитель.
Пример 18. Решить уравнение 
.
Неверное рассуждение: Сократим обе части уравнения на 
, получим 
.
Нет ничего более опасного и неправильного, чем это действие. Во-первых, подходящее решение исходного уравнения 
было потеряно; во-вторых, было приобретено два посторонних решения 
. Получается, что новое уравнение не имеет ничего общего с исходным! Приведем правильное решение.
Решение: Перенесем все члены в левую часть уравнения и разложим ее на множители
.
Это уравнение равносильно системе 
, которая имеет единственное решение 
.
Ответ: 
.
Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 475; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!