Уравнения релятивистской баллистики
Если спроектировать в евклидовой плоскости уравнения движения (2.2.7) и энергии ракеты (2.2.8), то получим
, (2.3.1)
, (2.3.2)
, (2.3.3)
. (2.3.4)
Здесь , , .
Проекции записаны вдоль координат кривизн . Для плоского движения, учитывая соотношения
, , (2.3.5)
где , имеем
, (2.3.6)
, (2.3.7)
, (2.3.8)
, (2.3.9)
(2.3.10)
или
, , (2.3.11)
, – угол между касательной к траектории и модулем реактивного ускорения. Наконец
. (2.3.12)
Таким образом, дана полная система уравнений релятивистской баллистики ракеты. В пределе малых скоростей и слабых полей они сводятся к классическим уравнениям баллистики космических ракет в ньютоновском поле.
Кинематика движения с постоянным реактивным ускорением
Рассмотрим одномерное движение ракеты при пренебрежении гравитационным полем . Тогда получим
, , (2.4.1)
где , – компоненты 4-х скоростей и 4-х ускорений при . Положим, что модуль реактивного ускорения постоянен, . Это означает, что скалярный квадрат должен сохранять свое значение в произвольной системе отсчета
|
|
. (2.4.2)
В случае сигнатуры (–+++) по определению
,
( – ковариантное, – контравариантное значение). Тогда
. (2.4.3)
С учетом (2.4.2), после интегрирования (2.4.3) имеем
, , (2.4.4)
но , где – пройденный ракетой путь. Интегрирование (2.4.4) дает
. (2.4.5)
Интегрируя теперь выражение (1) , получим зависимость между собственным временем в ракете и временем внешнего наблюдателя (на Земле)
. (2.4.6)
Выражая из и подставляя в (2.3.5), имеем
. (2.4.7)
Возьмем производную , используя (2.4.)
, (2.4.8)
тогда ;
производную из (2.4.5) , используя (2.4.5)
, (2.4.9)
тогда .
Таким образом, определяется кинематика. Поскольку по определению , то можно определить расход массы в зависимости от бортового времени
, , , . (2.4.10)
Кинематика движения с постоянной реактивной тягой
Рассмотрим вновь одномерное движение ракеты при постоянной тяге . Исходя по аналогиииз выражения (2.4.3), получим уравнение
|
|
. (2.5.1)
Но, согласно определению, выражение для тяги есть
, (2.5.2)
где – элемент собственного времени. Интегрируя (2.5.2), получим
. (2.5.3)
Подставляя (2.5.3) в (2.5.1), имеем
,
или
. (2.5.4)
Интегрируя (2.5.4), получим зависимость скорости от времени
. (2.5.5)
Обозначим через выражение, где вновь положим
, , (2.5.6)
тогда
. (2.5.7)
Разложим скорость в ряд Тейлора
. (2.5.8)
Тогда
, . (2.5.9)
Из (2.5.7) следует
, , . (2.5.10)
Итак,
. (2.5.11)
Но , тогда дальность получим из (2.5.11)
. (2.5.12)
Для данного отрезка времени поправка для дальности есть
, (2.5.13)
где
(2.5.14)
и
. (2.5.15)
Запишем теперь условие достижения заданного ускорения (перегрузки ) при движении с постоянной тягой
|
|
, (2.5.16)
где .
Условие для времени есть
. (2.5.17)
Соответствующее расстояние есть
. (2.5.18)
Кинематика движения с постоянной мощностью
Если спроектировать (2.2.4) при на времениподобное направление , то получим выражение для изменения мощности
. (2.6.1)
Инварианты , , определяются на основе лоренцова сложения скоростей. Инвариант определяет изменение тепловой энергии за счет диссипативных процессов. Записывая теперь выражение дефекта массы покоя
, (2.6.2)
прибавляя к (2.6.2) выражение (2.6.1), имеем выражение для мощности в безразмерной форме
. (2.6.3)
Здесь , , , – доля вносимой в ракету усредненной мощности потока внешних частиц, – доля усредненной мощности, передаваемая ракете непотенциальными силами в процессах с выделением джоулева тепла, трением и т.п.; в реальности параметр зависит от функции распределения внешних частиц, взаимодействующих с корпусом ракеты, а – от конкретных процессов в двигательных установках. Для простоты примем и постоянными
, .
|
|
Это позволит сделать оценки релятивистских поправок к выражению для мощности. Раскладывая в ряд (2.6.3) по малым величинам , (скорость присоединения), имеем
. (2.6.4)
Тогда
, (2.6.5)
где – нерелятивистское значение мощности. Рассмотрим случай , . Тогда
. . (2.6.6)
Интегрируя (2.6.6), имеем зависимость массы от бортового времени
, . (2.6.7)
С другой стороны, согласно релятивистскому решению Аккарета для массы имеем
. (2.6.8)
Обозначим, как в (2.5.6), выражение
, (2.6.9)
тогда по аналогии
. (2.6.10)
Раскладывая в ряд Тейлора, получим
, (2.6.11)
где ;
. (2.6.12)
Учитывая, что , получим выражение для дальности
. (2.6.13)
Для данного отрезка времени поправка для дальности есть
, (2.6.14)
где
, (2.6.15)
. (2.6.16)
Таким образом, определена кинематика релятивистского движения с постоянной мощностью.
Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 217; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!