Графическое дифференцирование функций.
Задача графического дифференцирования заключается в построении по заданному графику функции 
графика ее производной
Пусть дан график функции 
(рис. 1). Для построения в принятом масштабе l графика ее производной выбираем на данной кривой достаточно густую сеть точек 1, 2, 3, 4, 5, …, включающую по возможности характерные для графика точки. В этих точках с возможной тщательностью строим касательные к графику функции, проводя их «на глаз».
Далее, на оси Ox выбираем точку P(–l, 0) (полюс) и проводим параллельные соответствующим касательным прямые 
, 
, 
, 
, 
,… до пересечения их с осью Oy. Отрезки оси Oy: 
, 
, 
, 
, 
,… представляют собой соответственно величины, пропорциональные значениям производной 
в выбранных точках, т. е. являются ординатами графика производной. Например, для точки 1 на рисунке 1 имеем
.
Аналогичные результаты получаем для всех других точек. Поэтому точки пересечения 
, 
, 
, 
, 
,… параллелей, проходящих через точки 
, 
, 
, 
, 
,…, с соответствующими вертикалями, проходящими через точки касания 1, 2, 3, 4, 5, …, принадлежат графику производной 
Соединяя точки , , , , ,… линией, характер которой учитывает положение промежуточных точек, мы приближенно получаем график производной 
в масштабе l. Если выбрать l = 1, то график производной получится в натуральном масштабе.
Контрольные вопросы и упражнения для приобретения
Умений и навыков по теме 7
1. В каких случаях возникает необходимость численного дифференцирования функции 
? Сформулируйте задачу с конкретными данными численного дифференцирования функции из перечисленных вами случаев.
2. Какой подход используется для численного дифференцирования функции , если она задана таблицей своих значений в равноотстоящих узлах 
? Приведите формулы для вычисления приближенных значений производных первого и второго порядка функции при ее аппроксимации интерполяционным многочленом Ньютона. Поясните, как они были получены?
3. Функция на интервале [1,20; 1,45] задана таблицей своих значений
| x | 1,20 | 1,25 | 1,30 | 1,35 | 1,40 | 1,45 |
| f(x) | 2,572 | 3,010 | 3,620 | 4,455 | 5,798 | 8,238 |
Найдите значения первой производной в точках x =1,23 и x =1,40, используя формулу дифференцирования с помощью интерполяционного многочлена Ньютона.
4. Как другим способом, не используя интерполяционные многочлены, могут быть найдены производные первого и второго порядка функции по заданным ее значениям? Приведите формулы для определения этих производных. Для данных приведенной выше таблицы, вычислите производную второго порядка в точке x =1,30.
5. Какие причины вызывают погрешности при численном дифференцировании таблично заданной функции и как называются эти погрешности? Как влияет шаг h изменения аргумента x функции на погрешности результатов ее численного дифференцирования?
6. Изложите на конкретном примере методику графического дифференцирования функции .
Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 422; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!