ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ САУ
Под оптимальной понимается такая САУ, которая является наилучшей по совокупности нескольких показателей качества с учетом ограничений на внутренние сигналы и сигналы управления. В практике применения САУ используются различные частные показатели качества, такие как ошибки регулирования e ст, e ск, длительности процессов t Р, t ПП, t Н, перерегулирование s , экономичность, производительность, надежность и др. Смысл обобщенного показателя качества по совокупности частных показателей заключается в том, ни по одному из частных показателей не достигается экстремум, а по совокупности экстремум достигается. Такой экстремум достигается за счет компромисса между частными показателями качества, когда степени приближения их к своим экстремальным значениям примерно одинаковы у всех показателей с учетом их значимости. Выбор частных и обобщенного показателя качества производится человеком исходя из его практических потребностей. В общем случае никакие методы ТАУ не позволяют сформулировать требования к качеству САУ.
Задачи, решаемые в теории оптимальных САУ, - это всегда задачи синтеза. Общая формулировка задачи следующая:
К системе, описываемой системой дифференциальных уравнений
(39.1)
где 
- множество внутренних сигналов системы, приложен управляющий сигнал u. На внутренние сигналы yi и управления u могут быть наложены ограничения типа >, <, ³, £ и интегральные ограничения.
|
|
|
Необходимо систему за интервал времени t 0 ... t 1 перевести из начального состояния 
в конечное 
так, чтобы достигался бы минимум функционала вида
(39.2)
Функционал в данном случае является обобщенным показателем качества.
В решения сформулированной задачи определяется оптимальная траектория, переводящая систему из в , и соответствующий этой траектории оптимальный закон изменения сигнала управления u без предварительного задания структуры управляющего устройства. Во всех ранее рассмотренных САУ ситуация прямо противоположная, а именно, сначала задается структура управляющего устройства и закон изменения формируемого им сигнала u, а затем вычисляются траектории, на которых производится оценка показателей качества, и, изменяя характеристики нескольких звеньев, добиваются наилучших показателей.
Поясним эти особенности на примере. Пусть в некоторой САУ при применении заданного типа регулятора достигнуто заданное время t ПП переходного процесса на траектории 1 перехода из начальной у0 в конечную у1 точку (рис.39.1а). Если изменить настройки регулятора, то в принципе можно за то же время t ПП снова перейти из начальной точки у0 в конечную у1, но уже по другой траектории 2. Можно применить другой тип регулятора с тем же результатом, но с траекторией 3. Очевидно, что таких траекторий, переводящих систему за время t ПП из начальной точки у0 в конечную у1, существует бесконечно много.
|
|
|
Каждой траектории соответствует свой закон изменения управляющего сигнала (рис.39.1б), причем число таких траекторий бесконечно. В смысле достижения конечного результата - перевода системы из начальной точки у0 в конечную у1 за за время t ПП - все управления (рис.39.1б) и все траектории (рис.39.1а) равноценны. Однако при введении еще одного показателя качества, например, расходе энергии при движении по траектории из указанных траекторий можно выбрать наилучшую. Следовательно, каждой траектории в целом сопоставляется числовая характеристика. С помощью такой числовой характеристики можно сравнивать между собой отдельные траектории. В оптимальных САУ такой числовой характеристикой траектории является функционал J (39.2).
Следующий пример (рис.39.2): необходимо из пункта А попасть в пункт В кратчайшим путем. Если А и В расположены на плоскости, то кратчайшим путем, очевидно, будет прямая линия 1. Если между А и В имеется возвышенность произвольной формы, то кратчайший путь 2 пройдет частично сбоку по склону возвышенности. Аналитическое определение формы пути 2 является типичной задачей теории оптимального управления.
|
|
|
После определения оптимального закона изменения управляющего сигнала u формируется структура управляющего устройства и определяются его параметры. Такой метод расчета управляющего устройства имеет то достоинство, что устройство создается под заведомо наилучший закон изменения сигнала u.
Указанную специфику задач оптимальных САУ проследим на примере.
Пусть имеется САУ любого типа, в которой сигнал ошибки e регулирования, определяемый как разность между заданным и действительным значениями регулируемого сигнала, может изменяться по любому закону (рис.39.3), причем установившееся значение e ( ¥ )=0. Введем оценку качества графика e( t ) следующим функционалом
(39.3)
Составляющая e 2 при минимизации J обеспечивает определение такого графика e, который с осью t образует фигуру с наименьшей площадью, причем площади как выше, так и ниже оси учитываются со знаком плюс. Минимум площади обеспечивает наискорейшее приближение графика к оси t, т.е. максимальное быстродействие (это 1-й частный показатель качества). Составляющая 
при минимизации J обеспечивает исключение из возможных графиков таких, у которых имеются высокочастотные колебания. Минимум по - это подавление высокочастотных сигналов внутри системы, что обеспечивает устойчивую работу дифференцирующих звеньев САУ и уменьшает механический износ элементов САУ (это 2-й частный показатель качества). Коэффициент a 2 - это весовой коэффициент, числовое значение которого учитывает значимость составляющей e 2 в функционале: если a 2 =0, то составляющая e 2 не принимается во внимание при определении оптимальной траектории; если a 2 очень велика, то в функционале главной является составляющая e 2.
|
|
|
Вид функции e ( t ), при которой достигается минимум функционала, находится из следующих преобразований:
(39.4)
В выражение J входит постоянная величина 
, значение которой не зависит от вида траектории сигнала e , и интеграл от выражения 
, которое неотрицательно, т.е. либо ноль, либо положительное число. Указанный интеграл примет минимум, равный 0, на траектории, на которой везде
(39.5)
Итак, наилучший график изменения ошибки e регулирования - экспонента.
В рассмотренном примере удалось найти решение обычными методами математического анализа. Это является редким исключением, так как решение задач оптимального управления достаточно сложное. В общем случае задачи оптимального управления решаются специальными методами: вариационного исчисления, динамического программирования, принципа максимума.
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 617; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!