РАСЧЕТ АВТОКОЛЕБАНИЙ ГАРМОНИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
Нелинейные САУ всегда сложнее рассчитывать, так как дифференциальные уравнения решаются только прямым их интегрированием. Объясняется это тем, что из-за невозможности линеаризации нелинейных элементов, в описаниях нелинейных САУ отсутствуют передаточные функции и, следовательно, неприменим операторный метод решения дифференциальных уравнений.
Для автоколебательной нелинейной САУ существует простой, так называемый гармонический метод расчета параметров автоколебания, который по трудоемкости и затратам времени и счета сравним с расчетами линейных САУ.
Краткое обоснование гармонического метода состоит в следующем. Пусть нелинейная САУ, в которой существуют автоколебания, имеет структуру, приведенную на рис.36.1.
Предположим, что входной сигнал e нелинейности синусоидальный. На выходе нелинейного элемента, каким в данном примере является трехпозиционное реле, сигнал u будет периодическим, но несинусоидальным. Как известно из курса высшей математики, такой сигнал может быть разложен в ряд Фурье, который будет содержать основную гармонику, изменяющуюся с частотой сигнала e и высшие гармоники. Объект управления ОУ реально обладает инерционностью, например, холодильная камера. Поэтому скачкообразные изменения входного для ОУ сигнала u будут вызывать переходные процессы с характерной для экспонент формой. В результате выходной сигнал у объекта управления будет отличаться от входного u тем, что углы сигнала y будут сглаженными. Сигнал у будет периодическим, несинусоидальным, но отличие его от синусоиды будет, как правило, настолько незначительным (это видно из рисунка), что им можно пренебречь. Так как при x = const согласно схемы сигналы х и у отличаются лишь знаком и постоянной величиной х, то по форме они должны быть одинаковыми. Предположив синусоидальность e, мы доказали практическую синусоидальность сигнала у и, следовательно, это предположение оказывается верным.
|
|
|
Из приведенного доказательства вытекает следующие свойства:
· так как выходной сигнал у линейной части (ОУ) синусоидальный, то и во входном сигнале u нет смысла учитывать высшие гармоники, а достаточно только учета основной гармоники и сигнал u можно считать синусоидальным;
· так как при входном синусоидальном сигнале e нелинейности в выходном сигнале u достаточно учитывать лишь основную синусоидальную составляющую с частотой изменения входного сигнала, то нелинейный элемент обладает свойством линейного элемента, а именно, при входном синусоидальном сигнале выходной сигнал также синусоидальный. Следовательно, нелинейный элемент можно считать линейным и он должен иметь и передаточную функцию W НЭ (p), и частотную характеристику W НЭ (j w ).
|
|
|
Еще раз отметим, что все эти свойства справедливы для автоколебательного режима и с учетом смысла приведенного доказательства.
Пусть W ОУ ( j w ) - частотная характеристика объекта управления. Тогда в замкнутой САУ, приведенной на рис.36.1, в соответствии с критерием устойчивости Найквиста будут существовать незатухающие гармонические колебания (а в данном случае - автоколебания), если годограф частотной характеристики W НЭ ( j w ) W ОУ ( j w ) разомкнутой САУ пройдет (см. рис.7.4) через точку с координатами (-1, j 0), что эквивалентно тому, что
W НЭ ( j w ) W ОУ ( j w ) =-1 (36.1)
Расчеты показывают, что выражении частотной характеристики W НЭ ( j w ) нелинейности, получаемой путем замены р на j w в выражении передаточной функции W НЭ ( р ), частота сократится и останется только амплитуда А входного синусоидального сигнала e. Поэтому частотная характеристика нелинейности называется амплитудной характеристикой W НЭ ( А ) (это не одно и то же, что амплитудно-частотная характеристика линейного звена!), и условие (36.1) существования незатухающих гармонических колебаний перепишется в виде
|
|
|
W НЭ ( А ) W ОУ ( j w ) =-1 (36.2)
Выражение амплитудной характеристики имеет следующую структуру
W НЭ ( А ) = q (А) + jq ' (А), (36.3)
где q (А) и q ' (А) - коэффициенты гармонической линеаризации, выражения которых для типовых нелинейностей приводятся в справочниках по ТАУ [8].
Выражение (36.2) содержит две неизвестные переменные амплитуду А и частоту w автоколебаний и, поэтому, является уравнением. Уравнение (36.2) в общем случае целесообразно решать графически, предварительно преобразовав его к виду
V НЭ ( A )= W ОУ ( j w ), (36.4)
где V НЭ ( A )=-1/ W НЭ ( A ) - отрицательная обратная амплитудная характеристика нелинейности.
Для графического решения уравнения (36.4) на комплексной плоскости строятся годографы V НЭ ( A ) и W ОУ ( j w ). Необходимым условием существования автоколебаний является пересечение этих годографов (рис.36.2), например, в точках M и N. Однако не каждая точка пересечения соответствует устойчивым колебаниям. Достаточное условие существования автоколебаний формулируется следующим образом: если после точки пересечения годографов V НЭ ( A ) и W ОУ ( j w ) годограф V НЭ ( A ) выходит из-под охвата годографом W ОУ ( j w ), то решение в указанной точке устойчиво и ему отвечает автоколебания в нелинейной САУ. По этому условию на рис.36.2 автоколебания устойчивы с параметрами, определяемыми точкой N.
|
|
|
Частота автоколебаний w N определяется из W ОУ ( j w ) следующим образом. Годограф W ОУ ( j w ) строится при изменении частоты, которая принимает, например, значения w 1, w 2, w 3 и т.д. Частота автоколебаний w N находится, как следует из рисунка, между частотами w 2 и w 3. Для определения w N проводятся дополнительно с малым шагом вычисления W ОУ ( j w ) в интервале частот w 2...w 3 до тех пор, пока будет достигнуто достаточное по точности совпадение с точкой N.
Амплитуда автоколебаний A N определяется таким же способом, как и частота w N, но используется годограф V НЭ ( A ) и амплитуды А2 и А3.
Если годографы V НЭ ( A ) и W ОУ ( j w ) не пересекаются, то автоколебаний нет. Если годографы V НЭ ( A ) и W ОУ ( j w ) касаются или сливаются на некотором участке, то вопрос о существовании автоколебаний остается открытым: автоколебания могут как быть, так и не быть. Для этого нужно провести дополнительное исследование нелинейной САУ другими методами.
Достоинство графического метода определения автоколебаний в том, что независимо от сложности передаточной функции объекта W ОУ ( р ) и формы графика нелинейного элемента возможно определение амплитуды и частоты автоколебаний. В некоторых случаях уравнение (36.2) можно решить аналитически.
Контрольные вопросы:
1. Что такое нелинейная САУ?
2. Какие нелинейные САУ Вы знаете?
3. Опишите схему регулирования уровня жидкости в баке.
4. Как может выглядеть переходный процесс в схеме регулирования уровня жидкости в баке?
5. Какая форма бака предпочтительнее с точки зрения показателей качества переходного процесса?
6. Опишите трехпозиционную САУ регулирования температуры в холодильной камере.
7. Опишите гармонический метод расчета параметров автоколебаний.
8. Что такое автоколебательный переходный процесс?
Литература: [5, 7].
ИМПУЛЬСНЫЕ САУ
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 387; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!