Остаточный член формулы Тейлора может быть представлен в форме Лагранжа, Коши или Пеано. Остановимся на каждом из представлений немного подробнее

1)  - остаточный член в форме Лагранжа.

- остаточный член в 2) 2) форме Коши.

Формула Тейлора применяется при приближенном подсчете значения функции в какой-либо точке, а остаточный член посчитанный в этой точке показывает погрешность вычислений

35. Разложение некоторых элементарных ф-ций в степенные ряды

Если ф-цияf(x) явл. суммой степенного ряда в каком-либо промежутке,тоговорят,чтоf(x) в этом промежутке разлагается в степенной ряд.

Практически важное достаточное условие разложения ф-ции в ряд Тейлора выражается следующей теоремой: если производные любого порядка ф-цииf(x) ограничены в окрестности U(x₀) точки x₀ одним и тем же числом С,т.е. |f⁽ⁿ⁾ (x)| ≤C (n=1,2,3,…),то ряд Тейлора этой ф-ции сходится к f(x) для любого xиз этой окрестности.

Если ф-цияf(x) разложима в ряд Тейлора,то это разложение единственное.

Приведем разложения в степенной ряд (ряд Маклорена)некоторых элементарных ф-ций:

e^x=1+x/1!+x²/2!+…+xⁿ/n!+… (-∞<x<∞),

sinx=x/1!-x³/3!+x⁵/5! –x⁷7! +...+(-1)ⁿ x²ⁿ⁺¹/(2n+1)!+...

                          (-∞<x<+∞),

cosx=1 - x²/2!+x⁴/4! – x⁶/6!+...+(-1)ⁿ x²ⁿ/(2n)!+…

                          (-∞<x<+∞),

ln(1+x)=x – x²/2+x³/3 – x⁴/4+...+(- 1)^n-1 xⁿ/n+...

                         (-1<x≤1),

(1+x)^m=1+mx/1!+m(m-1)x²/2!+m(m-1)(m-2)x³/3!+...+

+m(m-1)...(m-n+1)xⁿ/n!

Последнее разложение имеет место при любом действительном числе m,если -1<x<1

---

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 435; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!