О1. ДУ – ур-е, сод неизв ф-цию, независ переем-ю и ее производные различных порядков

Если неизв ф-ция зависит от одной независим переменной, то ДУ – обыкновенное ДУ (ОДУ).

Если неизв ф-ция содержит 2 и > независ переменных, то ДУ назывур-е частичных производных.

В общем виде ОДУ можно записать F(x,y,y’, … , y⁽ⁿ⁾)=0 (1) неявный

y⁽ⁿ⁾ =f(x,y,y’,…,y⁽ⁿ^-1)) (2)явный

Порядок старшей производной, входящей в ур-е назыв порядком ур-я.

О2. ф-ция у=у(х) наз решением ДУ (1) или (2) если, будучи подставленным в соответствующур-е вместе со всеми своими произв-ми, она обр-т его в верное рав-во. Задача нах-я решения ДУ наз задачей интегрирования ДУ.

О3. Общим решением ДУ (1), (2) n-го порядка назыв ф-ция вида y=j(x,c₁,c₂,…,c_n), которая зависит от переменной х и nпроизвольных постоянных

О4. Частичным реш ДУ назреш, получ из общего при некот конкретных числовых значениях постоянных c₁,c₂,…,c_n

20. ДУ 1го порядка

Имеют вид: y’=f(x,y) (1) F(x,y,y’)=0 (2)

1) y’=f(x) dy/dx=f(x)

dy=f(x)dx òdy=òf(x)dx y=òf(x)dx

2) y’=f(y) dy/dx=f(y)

3) f(x)dx=f(y)dy ДУ с разделенными переменными òf(x)dx=òf(y)dy

4)y’=f(x)gy или M(x)N(y)d(x)=K(x)L(y)d(y)

ДУ с разделяющимися переменными

Ур-е вида (4) реш по схеме:

d(y)/d(x)=f(x)gy

d(y)/g(x)=f(x)d(x)

M(x)d(x)/K(x)=L(y)d(y)/N(y)

5) y’=g(y/x) однородное ДУ 1го порядка(ф-ция видаf(αx,αy)=α^kg(x,y) назоднор ф-цияk-того порядка,αЄR)

Реш с помощью подстановки

z=y/xy=zxy’=z’_xx+z

z’x+z=g(z) d(z)/(g(z)-z)=d(x)/x

6) y’=f(ax+by) приводится к ур-ю вида (4) путем замены z=ax+by

21. Линейные ДУ 1-го порядка

Уравнение вида ,

где p(x) и q(x) – заданные функции, назыв. линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка. Если в ур-нии 1 правая часть тождественно равна 0, то получим ур-ние вида (2) (однородное линейное ДУ 1-го порядка)

2—решают как ур-ние с раздел.переменными

1—решают с помощью подстановки:

(u’v+uv’)+p(x)uv=q(x)

u’v+u(v’+p(x)v)=q(x)

Подставляем во 2-ое уравнение системы (b):

Общее решение уравнения :

22. Линейные ДУ 2-го порядка.

Вид:

Методика решения:

Уравнение

Общее решение зависит от корней характеристического.

a) D<0, ,тогда решение имеет вид:

b)D=0, =>

c) D<0, =>

23. Линейные однородные ДУ 2 порядка с постоянными коэфф-ми. Их нахождение.

Обыкн ДУ 2 порядка с пост.коэфф. имеет вид:

(1) y``+py`+qy=r(x) p,qпринадл. R, r(x) – функция

Если r(x) =0, то

(2) y``+ py`+qy=0 – однор.лин.ДУ с пост.коэфф.

Ур-е вида (3) =0 – характерист.ур-е (1) и(2) Стр-ра общего решения ур.(2) определяется корнями квадр.ур-я. (3)

Возможны 3 случая

1. кв.ур-е имеет разные корни α1 α2, D>0 тогда общее решение:

y=C1 C1, C2 прин.R

2. корни кв.ур. кратные, т.е. α1= α2=α ;D=0

y= C1, C2 прин.R

3. корни комплексно сопряженные : λ1= α-βi; λ2= α+βi;

y= C1 C1, C2 прин.R

24. Лин неоднор ДУ 2-го порядка с пост коэфф-ми.

Рассмотрим уравнение y´´+py´+qy=r(x) /где p,q € R , r(x)-функция.которое имеет вид y=yO+yЧ, где

yO-общее решение уравнения y´´+py´+qy =0

yЧ-частное решение уравнения y´´+py´+qy=r(x) , которое зависит от вида правой части,т.еr(x)

Рассмотрим некоторые частные случаи:

1) r(x)=Pn(x) ,где Pn(x) – многочлен степени «n»

В этом случае решение yЧ ищут из уравнения к²+pк+q=0 в виде:

• yЧ=Qn(x) при q≠0

• yЧ=xQn(x) q=0, p≠0

• yЧ=x² Qn(x) q=p=0

2) r(x)=а где а,м € R , а,м =соnst

Вид частного решения следущее:

• yЧ=А если «м» не явл корнем Ур-я к²+pк+q=0

(корни некратные,некомплексные)

• yЧ=Аx если «м» –простой корень ур-я к²+pк+q=0

•yЧ=Аx² если «м»-кратный корень Ур-я к²+pк+q=0

3) r(x)=acosmx+bsinmxгдеa,b,m=const

• yЧ= Acosmx+Bsinmx при условии что p²+(q-m²)≠0

• yЧ= x(Acosmx+Bsinmx) если p²+(q-m²)=0, p=0,q= m²

25.Числовой ряд и его сходимость.

Пусть заданабескон послед-ть чисел …

Тогда + +… +…= (1) наз числовым рядом, а числа -члены ряда, -общий член ряда.

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 270; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!