линейных однородных уравнений
1. Любому простому действительному корню 
характеристического уравнения (22.81) соответствует решение
где коэффициенты 
определяют из системы (22.80) при найденном 
т. е.
(22.82)
Тогда общее решение системы (22.78) записывают в виде
где 
– произвольные постоянные.
2. Каждому комплексному корню 
и ему сопряженному 
соответствуют два линейно-независимых действительных решения. Для построения этих решений находим комплексное решение по формуле (22.79) для корня как и в случае 1, и выделяем действительную и мнимую части этого решения (корень 
уже не рассматриваем, так как новых решений системы (22.78) он не дает).
3. Если 
– корень кратности k, то решение, соответствующее этому корню, ищут в виде
(22.83)
где 
– многочлен с неопределенными коэффициентами степени 
Чтобы найти коэффициенты многочленов 
подставляем решение (22.83) в систему (22.78) и приравниваем коэффициенты подобных членов в левой и правой частях уравнений. Выразив все коэффициенты через любые k, полагаем по очереди один из них равным единице, а остальные равными нулю.
Пример 1. Решить систему однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
1) 
2) 
Решение. 1) Характеристическое уравнение системы имеет вид:
Вычисляя определитель, получаем 
откуда 
– простые действительные корни. Частные решения системы ищем в виде
При 
система (22.82) имеет вид:
Эта система имеет бесконечное множество решений. Для определенности положим 
тогда 
Получаем частные решения:
|
|
|
При система (22.82) принимает вид:
Положим 
тогда
Значит, корню соответствуют частные решения:
Общее решение исходной системы запишется в виде
2) Характеристическое уравнение системы
которое приобретает вид 
или 
Уравнение имеет двукратный корень 
Ему соответствует решение вида
Продифференцируем функции x(t) и y(t) и подставим в исходную систему:
Сокращаем на 
и группируем. Получаем систему для коэффициентов
Так как кратность корня 
равна двум (k = 2), то выразим все коэффициенты последней системы через любые два, например, через A и B:
Полагая 
находим 
Полагая 
находим 
Получаем два линейно-независимых частных решения:
и 
Общее решение исходной системы имеет вид:
Пример 2. Найти частное решение системы
Решение. Характеристическое уравнение системы
т. е. 
Оно имеет корни 
Для корня 
составляем систему (22.82):
Полагаем 
тогда 
Частное комплексное решение системы:
Выделяем в полученных функциях действительные (Re) и мнимые (Im) части.
Поскольку 
то
тогда
Сопряженный корень 
новых линейно-независимых решений не дает, поэтому не рассматривается. Таким образом, общее решение исходной системы:
|
|
|
Найдем частное решение для заданных начальных условий. Получаем:
откуда находим 
Искомое частное решение системы:
Задания
I уровень
1.1. Решите систему дифференциальных уравнений:
1) 
2) 
3) 
4) 
1.2. Решите задачу Коши:
1) 
2) 
3) 
4) 
II уровень
2.1. Решите систему:
1) 
2) 
3) 
4) 
2.2. Решите задачу Коши:
1) 
2) 
3) 
4) 
III уровень
3.1. Найдите частное решение системы дифференциальных уравнений:
1) 
2) 
3) 
3.2. Решите систему дифференциальных уравнений методом интегрируемых комбинаций:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
Содержание
| Предисловие...................................... | |
| 19. Неопределенный интеграл......................... | |
| 19.1. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов.......................... | |
| Задания...................................... | |
| 19.2. Методы вычисления неопределенного интеграла... | |
| Задания...................................... | |
19.3. Интегрирование некоторых выражений, содержащих
квадратный трехчлен  ................
| |
| Задания...................................... | |
| 19.4. Метод интегрирования по частям................ | |
| Задания...................................... | |
| 19.5. Рациональные функции. Интегрирование простейших дробей........................... | |
| Задания...................................... | |
| 19.6. Интегрирование тригонометрических выражений... | |
| Задания...................................... | |
| 19.7. Интегрирование иррациональных функций........ | |
| Задания...................................... | |
| 19.8. Интегралы от дифференциальных биномов........ | |
| Задания...................................... | |
| 20. Определенный интеграл........................... | |
| 20.1. Понятие определенного интеграла и его свойства... | |
| Задания...................................... | |
| 20.2. Формула Ньютона-Лейбница. Методы интегрирования по частям и замены переменной................. | |
| Задания...................................... | |
| 20.3. Геометрические и физические приложения определенного интеграла....................... | |
| Задания...................................... | |
| 21. Несобственные интегралы......................... | |
| 21.1. Несобственный интеграл первого рода........... | |
| Задания...................................... | |
| 21.2. Несобственный интеграл второго рода........... | |
| Задания...................................... | |
| 22. Дифференциальные уравнения..................... | |
| 22.1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными................................. | |
| Задания...................................... | |
| 22.2. Однородные дифференциальные уравнения. Уравнения, сводящиеся к однородным........... | |
| Задания...................................... | |
| 22.3. Линейные уравнения. Уравнение Бернулли....... | |
| Задания...................................... | |
| 22.4. Уравнения в полных дифференциалах............ | |
| Задания...................................... | |
| 22.5. Понятие дифференциальных уравнений высших порядков. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка............... | |
| Задания...................................... | |
| 22.6. Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков.................... | |
| Задания...................................... | |
| 22.7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения................................... | |
| Задания...................................... | |
| 22.8. Системы дифференциальных уравнений.......... | |
| 22.9. Системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами....... | |
| Задания...................................... |
|
|
|
|
|
|
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 21; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!