Линейные неоднородные дифференциальные
Уравнения
Линейным неоднородным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида
(22.58)
где – непрерывные функции на некотором промежутке (a, b).
Если в уравнении (22.58), то получаем соответствующее однородное дифференциальное уравнение
(22.59)
Общее решение уравнения (22.58) определяется формулой
(22.60)
где – общее решение соответствующего однородного уравнения, – частное решение неоднородного уравнения.
Для решения дифференциального уравнения (22.58) используют метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных). Для его реализации необходимо сделать следующее:
1. Записать соответствующее однородное дифференциальное уравнение.
2. Найти фундаментальную систему частных решений
соответствующего однородного дифференциального уравнения.
3. Найти общее решение однородного уравнения в виде
(22.61)
где – константы.
4. Решение заданного неоднородного дифференциального уравнения искать в виде (22.61), но считать, что – функциональные коэффициенты, которые надо найти.
5. Для нахождения коэффициентов решения уравнения (22.61) необходимо записать систему уравнений
(22.62)
6. Решить систему (22.62) относительно и получить
7. Проинтегрировать полученные равенства для и найти
где – произвольные постоянные.
8. Подставить полученные выражения вместо в записанное решение (22.61). Это и есть общее решение заданного дифференциального уравнения (22.58).
|
|
Согласно методу Лагранжа, сразу находим общее решение (22.60) заданного дифференциального уравнения (22.58) (без нахождения отдельно его частного решения ).
Для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений (22.58) с постоянными коэффициентами и правой частью f (x) специального вида используют метод Эйлера (метод неопределенных коэффициентов). Этот метод применим, если функция f (x) имеет вид:
(22.63)
где – многочлены степени n и m соответственно.
Для реализации метода необходимо сделать следующее:
1. Решить соответствующее однородное дифференциальное уравнение (22.59), используя характеристическое уравнение:
(22.64)
Общее решение дифференциального уравнения (22.59) записать в виде
(22.65)
где – частные решения уравнения (22.59), полученные в соответствии с типом корней характеристического уравнения (22.64).
2. Записать контрольное число где – числа, которые заданы в (22.63). Определить, имеется ли число среди корней уравнения (22.64). Если имеется, то какова кратность k этого корня.
3. Если не содержится среди корней характеристического уравнения (22.64), то записать искомое частное решение дифференциального уравнения (22.58) в виде
(22.66)
Если среди корней характеристического уравнения (22.64) имеется корень кратность которого k, то искомое частное решение дифференциального уравнения (22.58) записать в виде
|
|
(22.67)
где в равенствах (22.66) и (22.67) – многочлены степени r, – бóльшая степень заданных многочленов в (22.63). Многочлены и необходимо записать в стандартном виде с буквенными коэффициентами.
4. Коэффициенты многочленов найти методом неопределенных коэффициентов. Для этого необходимо вычислить производные функции (22.66) или (22.67) и подставить в левую часть уравнения (22.58). Далее надо привести подобные относительно и а затем приравнять многочлены при одноименных тригонометрических функциях. Используя равенство многочленов, записывают систему уравнений относительно искомых числовых коэффициентов.
5. Найденные значения числовых коэффициентов необходимо подставить в многочлены и частного решения , записанного в виде функции (22.66) или (22.67).
6. Записать общее решение заданного дифференциального уравнения (22.58) в виде (22.60), где решение имеет вид (22.65), а – решение вида, записанного в предыдущем 5-м «шаге».
З а м е ч а н и е 1. Форма записи (22.66) или (22.67) сохраняется и в случаях, когда в исходном уравнении (22.58) или где a, b – числа. Тогда где A, B – числа, которые надо найти.
|
|
З а м е ч а н и е 2. Если правая часть уравнения (22.58) есть сумма различных функций специального вида, то для нахождения yч используют теорему о наложении решений: если в уравнении (22.58) правая часть имеет вид:
где а – частные решения уравнений
соответственно, то функция
является решением заданного уравнения.
3. Если в правой части f (x) уравнения (22.58) присутствует только одно слагаемое с тригонометрической функцией (т. е. или ), то общее решение и в этом случае записывают в виде (22.66) или (22.67), т. е. с двумя тригонометрическими функциями.
Пример 1. Решить уравнение методом Лагранжа:
1) 2) 3)
Решение. 1) Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Найдем решение соответствующего однородного уравнения
Его характеристическое уравнение корни которого – комплексно-сопряженные, простые. Тогда общее решение соответствующего однородного уравнения где C 1, C 2 – произвольные постоянные.
Общее решение заданного дифференциального уравнения ищем в виде
(22.68)
где – функции, которые надо найти.
Для нахождения C 1(x), C 2(x) решим систему уравнений
Используем, например, метод Крамера:
Тогда решениями системы будут:
|
|
или
Интегрируя полученные равенства, получаем:
где – произвольные постоянные.
Подставляем найденные значения функций в (22.68) и получаем общее решение заданного дифференциального уравнения:
2) Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Найдем решение соответствующего однородного уравнения: Его характеристическое уравнение корни которого – простые, действительные. Тогда общее решение соответствующего однородного уравнения где – произвольные постоянные.
Общее решение заданного дифференциального уравнения ищем в виде
(22.69)
где – функции, которые надо найти.
Для нахождения решим систему уравнений
Используем метод Крамера:
Тогда решение системы:
или
Интегрируем полученные равенства:
Таким образом,
где – произвольные постоянные. Подставляем найденные значения функций в (22.69) и получаем общее решение заданного дифференциального уравнения:
После упрощения приходим к ответу:
3) Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение 3-го порядка. Найдем решение соответствующего однородного уравнения
Его характеристическое уравнение корни которого – действительные, простые. Тогда общее решение соответствующего однородного уравнения где – произвольные постоянные. Общее решение заданного дифференциального уравнения ищем в виде
(22.70)
где – функции, которые надо найти. Для нахождения решаем систему уравнений
По методу Крамера:
Тогда решение системы:
или
Интегрируя полученные равенства, получаем:
где – произвольные постоянные.
Подставляем найденные значения функций в (22.70) и получаем общее решение заданного дифференциального уравнения:
После упрощения приходим к ответу:
Пример 2. Решить задачу Коши:
1)
2)
Решение. 1) Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения Его характеристическое уравнение корни которого – комплексно-сопряженные, простые. Тогда общее решение соответствующего однородного уравнения Общее решение заданного дифференциального уравнения ищем в виде
где – функции, для нахождения которых составляем систему
Решаем ее методом Крамера:
Получаем решение системы:
Интегрируем полученные равенства:
где – произвольные постоянные.
Тогда общее решение заданного дифференциального уравнения:
После упрощения получаем:
Далее решаем задачу Коши. Дифференцируем полученное общее решение:
Подставляем начальные условия в выражения для y и и определяем константы и
Отсюда имеем:
Получаем решение задачи Коши:
2) Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 3-го порядка. Найдем его общее решение методом Лагранжа. Соответствующее однородное уравнение имеет вид: Его характеристическое уравнение где – корни. Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения:
Общее решение заданного дифференциального уравнения ищем в виде
где – искомые функциональные коэффициенты.
Составляем систему
Решаем ее методом Крамера:
Тогда решение системы:
Интегрируем эти равенства:
где – произвольные постоянные (при интегрировании и применялся метод интегрирования по частям).
Подставляя выражения для в общее решение, получаем:
или после упрощения:
Дифференцируем полученное общее решение дважды:
Подставляем в выражения для заданные начальные условия и находим
Отсюда
Получили решение задачи Коши:
Пример 3. Решить уравнение:
1) 2)
3)
Решение. 1) Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Для его решения используем метод Эйлера.
Рассмотрим соответствующее однородное уравнение Его характеристическое уравнение корни которого – действительные, простые.
Тогда общее решение соответствующего однородного уравнения:
где – произвольные постоянные. Запишем контрольное число (так как ). Контрольное число не содержится среди корней характеристического уравнения. Тогда искомое частное решение заданного дифференциального уравнения имеет вид:
где A, B, C – неопределенные коэффициенты, которые надо найти.
Вычислим производные
Подставляем полученные выражения и в заданное дифференциальное уравнение:
Сокращаем на и группируем относительно степеней x:
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:
Решаем полученную систему уравнений и находим A, B, C:
Подставляем найденные коэффициенты в частное решение:
или
Тогда общее решение заданного дифференциального уравнения имеет вид:
2) Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 4-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Используем метод Эйлера для нахождения его общего решения. Соответствующее однородное уравнение – Его характеристическое уравнение
или
корни которого кратности 2 (комплексно-сопряженные).
Тогда общее решение соответствующего однородного уравнения:
где – произвольные постоянные.
Запишем контрольное число так как Контрольное число содержится среди корней характеристического уравнения кратности 2. Поэтому искомое частное решение заданного дифференциального уравнения ищем в виде
где A, B – коэффициенты, которые надо найти.
Дифференцируем дважды:
Упростим
Далее получим:
Упростим это выражение:
Дифференцируем еще раз:
Упрощаем это выражение:
Подставляем выражения для и в заданное дифференциальное уравнение:
Группируем относительно и
После преобразований в скобках получим:
Приравниваем коэффициенты при одноименных тригонометрических функциях и получаем систему
решение которой:
Подставляем найденные коэффициенты в частное решение
Тогда общее решение заданного дифференциального уравнения:
или
3) Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 3-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Соответствующее однородное уравнение – Его характеристическое уравнение
или
Получаем корни характеристического уравнения
Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид:
где – произвольные постоянные.
Запишем контрольное число так как Контрольное число не содержится среди корней характеристического уравнения. Тогда искомое частное решение заданного дифференциального уравнения ищем в виде
где A, B, C, D – коэффициенты, которые надо найти. Дифференцируем трижды
Упростим это выражение:
Далее дифференцируем:
Упростим это выражение:
Упростим это выражение:
Подставляя выражения для в заданное дифференциальное уравнение, группируем и, приравнивая коэффициенты при одноименных тригонометрических функциях, имеем:
Упрощая выражения, получаем систему уравнений
Решаем ее и находим:
Подставляем найденные коэффициенты в
Тогда общее решение заданного дифференциального уравнения:
Пример 4. Решить уравнения:
1) 2) 3)
Решение. 1) Это линейное неоднородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью вида
где b – число,
Соответствующее однородное уравнение:
Его характеристическое уравнение корни которого – действительные, простые.
Тогда общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения:
Запишем контрольное число Оно не является корнем характеристического уравнения.
Тогда частное решение заданного дифференциального уравнения ищем в виде
где A – коэффициент, который надо найти.
Дифференцируем дважды:
Подставляем в заданное дифференциальное уравнение:
получаем
Затем подставляем этот коэффициент в выражение для
Общее решение заданного дифференциального уравнения запишем в виде
2) Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью вида
где
Соответствующее однородное уравнение имеет вид:
Его характеристическое уравнение корни которого – простые комплексно-сопряженные.
Тогда общее решение однородного уравнения:
Контрольное число совпадает с одним из корней характеристического уравнения, кратности 1. Поэтому частное решение заданного дифференциального уравнения ищем в виде
где A, B – коэффициенты, которые надо найти.
Дифференцируем дважды:
Упрощаем
Подставляем в заданное дифференциальное уравнение:
Группируя относительно а также и приравнивая коэффициенты при одноименных тригонометрических функциях, получим систему
из которой находим
Тогда частное решение:
а общее решение заданного дифференциального уравнения:
или
3) Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и специальной правой частью вида Для нахождения его общего решения воспользуемся методом Эйлера и теоремой о наложении решений.
Соответствующее однородное уравнение для заданного дифференциального уравнения Его характеристическое уравнение корни которого – простые действительные.
Общее решение однородного уравнения:
Частное решение заданного дифференциального уравнения будем искать в виде
где – частное решение дифференциального уравнения:
(22.71)
– частное решение дифференциального уравнения:
(22.72)
Контрольные числа этих дифференциальных уравнений и соответственно. Заметим, что не является корнем характеристического уравнения, значит, частное решение ищем в виде
где A, B – коэффициенты, которые надо найти.
Дифференцируем
Подставляя в дифференциальное уравнение (22.71) и получим:
откуда находим
Тогда
Аналогично, так как – простой корень характеристического уравнения, то частное решение (22.72) ищем в виде
где С – коэффициент, который надо найти.
Дифференцируем
Подставляем и в (22.72):
или
Отсюда получаем, что Тогда
Записываем частное решение заданного дифференциального уравнения: Тогда общее решение заданного дифференциального уравнения имеет вид:
Пример 5. Решить задачу Коши:
Решение. Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и специальной правой частью вида
где
Соответствующее однородное дифференциальное уравнение Его характеристическое уравнение: корни которого – действительные, простые. Тогда общее решение однородного уравнения:
Контрольное число не является корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение заданного дифференциального уравнения ищем в виде
где A, B – неизвестные коэффициенты.
Дифференцируем трижды:
Подставляем и в заданное дифференциальное уравнение:
Приравниваем коэффициенты при одноименных тригонометрических функциях, получаем систему
из которой находим
Тогда получаем:
Общее решение заданного дифференциального уравнения:
Дифференцируем общее решение:
Подставляем заданные начальные условия:
Из полученной системы находим
Решением задачи Коши является
Задания
I уровень
1.1. Решите уравнение:
1) 2)
3) 4)
1.2. Решите задачу Коши:
1)
2)
3)
1.3. Найдите общее решение уравнения методом Лагранжа:
1) 2)
II уровень
2.1. Найдите общее решение уравнения методом Лагранжа:
1) 2)
3) 4)
2.2. Решите уравнение:
1) 2)
3) 4)
2.3. Решите задачу Коши:
1)
2)
3)
4)
2.4. Укажите вид частного решения дифференциального уравнения:
1) 2)
3) 4)
III уровень
3.1. Решите уравнение:
1) 2)
3) 4)
3.2. Найдите общее решение методом Лагранжа:
1) 2)
3) 4)
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 18; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!