Уравнения в полных дифференциалах
Уравнение вида
(22.33)
называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции 
т. е.
(22.34)
Тогда уравнение (22.33) равносильно уравнению 
общий интеграл которого определяется формулой
(22.35)
где С – произвольная постоянная.
Для того чтобы дифференциальное уравнение (22.33) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество
(22.36)
при условии, что 
и 
– непрерывны.
При решении уравнения (22.33) следует сделать следующее:
1) проверить выполнение равенства (22.36);
2) если равенство (22.36) выполняется, следует определить функцию 
из системы уравнений
(22.37)
3) общий интеграл уравнения (22.33) получают в виде (22.35).
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение:
1) 
2) 
Решение. 1) Это уравнение вида (22.33), где 
Проверим выполнение условия (22.36):
Значит, заданное уравнение – в полных дифференциалах. Определим функцию u (x, y) из системы уравнений (22.37)
(22.38)
Интегрируем первое уравнение по x, считая y постоянной величиной:
(22.39)
где в качестве произвольной постоянной относительно переменной x выступает функция 
которую нужно найти. Для этого функцию (22.39) дифференцируем по y:
Правую часть полученного равенства приравниваем к правой части второго уравнения системы (22.38):
откуда получаем 
Интегрируем последнее равенство:
где 
Подставляем найденную функцию C (y) в (22.39):
|
|
|
Согласно формуле (22.35), получаем:
где 
т. е.
– общий интеграл заданного дифференциального уравнения.
2) В заданном примере имеем 
Значит, это уравнение в полных дифференциалах. Найдем функцию u (x, y) из системы уравнений
(22.40)
Интегрируем первое уравнение системы:
т. е.
где C (y) – функция от y, которую надо найти. Дифференцируем последнее равенство по y:
Используя полученное равенство и второе равенство системы (22.40), приравниваем их правые части:
или 
Интегрированием получаем далее
где
Тогда 
Общий интеграл заданного дифференциального уравнения:
Пример 2. Решить задачу Коши:
1) 
2) 
Решение. 1) В заданном примере 
Значит, это уравнение в полных дифференциалах. Найдем функцию u (x, y) из системы уравнений
(22.41)
Интегрируем первое уравнение системы:
Получаем:
где C (y) – функция от y, которую надо найти. Дифференцируем последнее равенство по y:
Используем полученное равенство и второе равенство системы (22.41), приравниваем их правые части:
или 
Интегрированием получаем:
где
Тогда общий интеграл заданного дифференциального уравнения имеет вид:
где 
Используем начальное условие 
и находим константу C:
или 
Поэтому решением задачи Коши является
|
|
|
2) Проверяем условие (22.36): 
значит, заданное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Находим функцию u (x, y) из системы уравнений
(22.42)
Интегрируем первое уравнение системы:
Получаем:
где C (y) – неизвестная функция от y, которую надо найти. Дифференцируем последнее равенство по y:
Используя полученное равенство и второе равенство системы (22.42), приравниваем правые части:
или 
Интегрированием получаем:
где
Тогда общий интеграл заданного дифференциального уравнения имеет вид:
где
Используя начальное условие 
находим константу С:
или 
Тогда решением задачи Коши является:
или 
Задания
I уровень
1.1. Решите уравнение:
1) 
2) 
3) 
4) 
1.2. Решите задачу Коши:
1) 
2) 
3) 
II уровень
2.1. Решите уравнение:
1) 
2) 
3) 
2.2. Решите задачу Коши:
1) 
2) 
3) 
III уровень
3.1. Определите тип дифференциального уравнения и решите его:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 17; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!