Метод вариации произвольной постоянной
(метод Лагранжа):
1) находим общее решение соответствующего линейного однородного уравнения 
2) общее решение линейного неоднородного уравнения ищем в виде
(22.17)
где 
– некоторая функция, которую необходимо найти;
3) подставляем функцию (22.17) в уравнение (22.15) и находим функцию C (x):
где С – произвольная постоянная;
4) общее решение уравнения (22.15) записываем в виде
(22.18)
Метод Бернулли:
1) ищем общее решение дифференциального уравнения (22.15) в виде
(22.19)
где 
– некоторые функции, которые надо найти;
2) подставляем функцию (22.19) и ее производную в уравнение (22.15), получаем:
или
(22.20)
3) функцию v (x) подбираем как частное решение (при 
) дифференциального уравнения
(22.21)
4) при условии (22.21) решаем уравнение (22.20), которое приобретает вид
как дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными (находим его общее решение);
5) общее решение исходного уравнения (22.15) записываем как произведение найденных функций u (x) и v (x), т. е. в виде (22.19).
З а м е ч а н и е. При решении дифференциальных уравнений методами Лагранжа и Бернулли реализуем «пошагово» описанные алгоритмы.
Уравнение вида
(22.22)
где 
называется уравнением Бернулли.
Если 
то это линейное дифференциальное уравнение, если 
– уравнение с разделяющимися переменными.
Если 
то при решении таких уравнений также применяют метод Лагранжа или метод Бернулли.
Пример 1. Решить уравнение двумя способами:
|
|
|
1) 
2) 
Решение. 1) Преобразуем уравнение (полагая 
) к виду линейного неоднородного дифференциального уравнения
1-й способ. Решим методом Лагранжа. Найдем общее решение соответствующего ему однородного уравнения 
Интегрируем и получаем:
или 
где 
Общее решение исходного дифференциального уравнения будем искать в виде
(22.23)
где 
– функция от переменной x.
Найдем C (x). Для этого дифференцируем (22.23):
Подставляем функцию (22.23) и ее производную в исходное дифференциальное уравнение:
Упрощаем полученное уравнение и решаем относительно 
Получаем: 
Далее интегрируем:
Подставляем найденное выражение вместо C в равенство (22.23). Тогда общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид 
2-й способ. Ищем общее решение исходного уравнения в виде (22.19). После подстановки получим:
(22.25)
Подбираем функцию v как частное решение (при 
) уравнения
т. е. 
Вследствие интегрирования имеем:
Подставляем найденную функцию v в (22.25), получаем:
Находим общее решение последнего уравнения, разделяя переменные:
Интегрируем и получаем:
или 
где
Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид (в соответствии с (22.19)):
Вывод: в данном примере решение методом Бернулли (2-й способ) оказалось более рациональным, так как быстрее привело к ответу.
|
|
|
2) 1-й способ. Решим уравнение методом Лагранжа. Находим общее решение соответствующего ему однородного уравнения
т. е. 
Интегрирование дает:
или 
Общее решение исходного дифференциального уравнения будем искать в виде
(22.26)
где 
Дифференцируем функцию (22.26):
Подставляем функцию (22.26) и ее производную в исходное дифференциальное уравнение:
Интегрирование последнего равенства дает нам 
где
Подставляем найденное выражение вместо C (x) в (22.26). Получаем общее решение заданного уравнения:
т. е. 
2-й способ. Ищем общее решение в виде 
(метод Бернулли), где 
– функции, которые надо найти. Вычисляем производную 
и подставляем ее вместе с функцией в исходное уравнение. Получаем:
т. е.
(22.27)
Согласно методу, полагаем 
Из этого уравнения (как из дифференциального уравнения с разделяющимися переменными) найдем функцию v (x). Интегрируем равенство 
и находим 
(константу C полагаем равной нулю).
Из последнего уравнения имеем: 
Возвращаемся к уравнению (22.27). С учетом равенства нулю выражения в скобках и найденной функции v (x) оно имеет вид:
или 
Интегрируем последнее равенство. Получаем:
|
|
|
где
Тогда общее решение 
исходного дифференциального уравнения имеет вид:
т. е. приходим к ответу:
Вывод: более рациональным оказался метод Лагранжа (1-й способ), так как быстрее привел к общему решению исходного дифференциального уравнения.
Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения:
1) 
2) 
Решение. 1. Найдем общее решение методом Лагранжа. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение
Решаем его как дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, т. е.
Его решением является 
где
Ищем общее решение заданного дифференциального уравнения в виде
(22.28)
где – некоторая функция.
Найдем функцию 
Дифференцируем выражение (22.28):
Подставляем найденную производную и функцию (22.28) в заданное уравнение, получаем:
т. е.
или 
Тогда 
Интегрируя по частям, получим:
где
Найденное выражение С (x) подставляем в равенство (22.28), получаем: 
Найдем частное решение, используя начальное условие. Если 
и 
то 
Значит, частное решение имеет вид: 
2) Найдем общее решение методом Бернулли, т. е. в виде 
После подстановки производной и самой функции в исходное дифференциальное уравнение получаем:
т. е.
(22.29)
Полагаем 
Интегрируем это уравнение как дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и находим v (x):
|
|
|
(полагаем ) или 
Возвращаемся к дифференциальному уравнению (22.29):
Имеем уравнение 
которое интегрируем, и получаем:
где
Тогда общее решение заданного дифференциального уравнения имеет вид:
или 
Найдем частное решение, используя начальное условие. Если и 
то 
Значит, частное решение имеет вид: 
Пример 3. Решить уравнение:
1) 
2) 
Решение. 1) Это уравнение Бернулли. Будем искать общее решение методом Бернулли, т. е. в виде
После подстановки получим:
После упрощения имеем:
(22.30)
Полагая 
находим функцию 
(полагаем ).
Подставляем найденную функцию в дифференциальное уравнение (22.30):
или 
Интегрируем последнее уравнение:
После интегрирования по частям получаем:
откуда 
Тогда общее решение заданного дифференциального уравнения имеет вид:
2) Запишем заданное уравнение в виде
Это уравнение не является линейным дифференциальным уравнением вида (22.15) или уравнением Бернулли вида (22.22). Умножим заданное уравнение на 
получим: 
Разделим его на y (
) и получим уравнение Бернулли
(22.31)
решением которого является функция 
Ищем общее решение последнего дифференциального уравнения в виде 
где 
Находим производную 
и подставляем ее вместе с функцией в уравнение (22.31):
или
(22.32)
Найдем v (y), решая уравнение
т. е. 
Интегрирование дает:
т. е. 
(полагаем ).
Подставляем найденную функцию v в уравнение (22.32):
Интегрируя последнее уравнение, получим:
или 
Получаем общее решение (общий интеграл) заданного дифференциального уравнения:
или 
Задания
I уровень
1.1. Решите уравнение:
1) 
2) 
3) 
4) 
1.2. Решите задачу Коши:
1) 
2) 
3) 
4) 
II уровень
2.1. Решите уравнение:
1) 
2) 
3) 
4) 
2.2. Решите задачу Коши:
1) 
2) 
3) 
4) 
III уровень
3.1. Составьте уравнение кривой 
проходящей через точку A (a, a) и обладающей свойством: если в любой точке N (x, y) кривой с ординатой, равной | BN | (рис. 22.2) провести касательную до пересечения с осью ординат в точке С, то площадь трапеции OCNB будет постоянной и равна 
 |
Рис. 22.2
3.2. Составьте уравнение кривой 
проходящей через точку 
и обладающей свойством: середина отрезка ее нормали, заключенного между любой точкой кривой и осью абсцисс, лежит на параболе 
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 20; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!