Глава 1. Функции. Их виды и основные свойства
Понятие функции
Определение. Пусть Х и Y – множества произвольной природы. Функцией или отображением из множества Х во множество Y называется закон f, по которому каждому элементу множества Х ставится в соответствие единственный элемент множества Y. Для обозначения функции используются символы:
f: Х → Y, 
, 
.
Множество Х при этом называется областью определения функции f и обозначается 
. Если при отображении f элементу 
соответствует элемент 
, то у называется образом элемента х, а х называется прообразом элемента у. Множество всех образов функции называется ее множеством значений и обозначается 
.
Определение. Функции f и g называются равными, если их области определения совпадают и значения функций во всех точках равны:
1) 
;
2) 
для всех 
.
Если Х и Y – числовые множества, то функция f: Х → Y называется числовой. Далее, если специально не оговорено, под функцией мы будем понимать числовую функцию.
Определение. Графиком числовой функции называется множество всех точек 
координатной плоскости, у которых первая координата х принадлежит области определения функции, а вторая координата у является соответствующим значением функции:
График функции обладает следующим свойством: любая вертикальная прямая пересекает его не более чем в одной точке.
Пример. Окружность не является графиком никакой функции, поскольку можно построить вертикальную прямую х=х 0, пересекающую ее в двух точках.
|
|
|
При этом точке х 0 на оси ОХ соответствуют две точки на окружности с ординатами у 1 и у 2, что противоречит определению функции.
Виды функций
Определение. Функция f: Х → Y называется инъективной, если разным элементам множества Х соответствуют разные элементы множества Y:
.
График инъективной функции обладает следующим свойством: любая горизонтальная прямая пересекает его не более чем в одной точке.
Определение. Функция f: Х → Y называется сюръективной, если все элементы множества Y участвуют в соответствии, т.е. Y= .
Определение. Функция f: Х → Y называется биективной, если она инъективна и сюръективна. Биективную функцию также называют биекцией или взаимно-однозначным соответствием.
Пример. Множества Х= { a, b, c } и Y= {1, 2, 3} изобразим точками плоскости. Законы соответствия f, g и h между множествами Х и Y зададим с помощью стрелок.
Соответствие f является функцией, поскольку каждому элементу множества Х поставлен в соответствие единственный элемент множества Y (из каждой точки множества Х выходит единственная стрелка). Функция f не инъективна и не сюръективна. Неинъективность на языке стрелок означает, что на схеме имеются две различные стрелки с общим концом (b →2 и с →2). Несюръективность означает, что во множестве Y имеется хотя бы одна точка, которая не является концом никакой стрелки (на схеме это точка 3).
|
|
|
Соответствие g не является функцией, поскольку элементу 
из множества Х соответствуют два элемента из множества Y: b →2 и b →3 (из точки выходит две стрелки).
Соответствие h является функцией, которая инъективна, сюръективна и, следовательно, биективна.
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 19; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!