Производная сложной функции.
Производная сложной функции равна производной этой функции по промежуточному аргументу 
, умноженной на производную от промежуточного аргумента по основному аргументу 
.
и 
имеют производные соответственно в точках 
и 
. Тогда
29. Приращение 
функции 
представимо в виде: 
где функция 
является б.м. функцией при стремлении аргумента 
к нулю. Так как 
, то
В силу того, что второе слагаемое 
является бесконечно малым, то им можно пренебречь, а поэтому 
А так как в нахождении дифференциал значительно проще, чем приращение функции, то данная формула активно используется на практике.
Для приближенного вычисления значения функции применяется следующая формула: 
30. Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f". Таким образом,f"(x) = (f'(x))'.
Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f(n). Итак, f(n)(x) = (f(n-1)(x))', n ϵ N, f(0)(x) = f(x).
Число n называется порядком производной.
Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,
dnf(x) = d(dn-1f(x)), d0f(x) = f(x), n ϵ N.
Если x - независимая переменная, то dx = const и d2x = d3x =... = dnx = 0.
В этом случае справедлива формула dnf(x) = f(n)(x)(dx)n.
Теорема Ролля
Пусть функция f: [ a, b ] → R непрерывна на сегменте [ a, b ], и имеет конечную или бесконечную производную внутри этого сегмента. Пусть, кроме того, f (a) = f (b). Тогда внутри сегмента [ a, b ] найдется точка ξ такая, что f' (ξ) = 0.
Теорема Лагранжа
Если функция f: [ a, b ] → R непрерывна на сегменте [ a, b ] и имеет конечную или бесконечную производную во внутренних точках этого сегмента, то 
такое, что f (b) - f (a) = f' (ξ)(b - a).
Теорема Коши
Если каждая из функций f и g непрерывна на [ a, b ] и имеет конечную или бесконечную производную на ] a, b [ и если, кроме того, производная g' (x) ≠ 0 на ] a, b [, то такое, что справедлива формула
Если дополнительно потребовать, чтобы g (a) ≠ g (b), то условие g' (x) ≠ 0 можно заменить менее жестким:
32. Касательная прямая - прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.
Прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой.
Если кривая определена уравнением , то уравнение касательной к ней в точке 
имеет вид:
а уравнение нормали:
33. Формулировка правила Лопиталя cледующая:
Если 
, и если функции f(x) и g(x) – дифференцируемы в окрестности точки 
, то 
В случае, когда неопределенность не исчезает после применения правила Лопиталя, то его можно применять вновь.
34. Интервал монотонности.
1. Если производная положительна, то функция возрастает
2. Если производная отрицательна, то функция убывает
| Функция | Производная | Монотонность |
Линейная 
| 
| Если  , возрастает
|
Если  , убывает
| ||
Если  , постоянная
| ||
Прямая пропорциональность 
| 
| Если  , возрастает
|
Если  ,убывает
| ||
Обратная пропорциональность 
| 
| Если , убывает на  и на 
|
| Если , возрастает на и на
| ||
Квадратичная функция 
| 
| Если , убывает на  , возрастает на 
|
| Если , возрастает на , убывает на
| ||
| 
| Возрастает на 
|
Экстремум. Точка 
называется точкой локального максимума (или минимума) функции 
, сли существует такой окрестность 
этой точки, принадлежащий области определения функции, и для всех 
из этого окрестности выполняется неравенство (или 
).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции, а значения функции в экстремальных точках - ее экстремальными значениями.
НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЛОКАЛЬНОГО ЭКСТРЕМУМА:
Если функция имеет в точке локальный экстремум, то либо производная равна нулю 
, либо не существует.
Точки которые удовлетворяют выписанным выше требованиям называют критическими точками.
Однако в каждой критической точке функция имеет экстремум. Ответ на вопрос: будет критическая точка точкой экстремума дает следующая теорема.
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 21; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!