Достаточное условие существования экстремума функции
Теорема І. Пусть функция 
непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку 
и дифференцированная во всех точках этого интервала (за исключением, возможно, самой точки ).
Тогда для точки функция имеет максимум, если для аргументов 
выполняется условие, что производная больше нуля 
, а для 
условие - производная меньше нуля 
.
Если же для производная меньше нуля , а для больше нуля , то для точки 
функция имеет минимум.
Теорема ІІ. Пусть функция дважды дифференцируема в окрестности точки и производная равна нулю 
. Тогда в точке функция имеет локальный максимум, если вторая производная меньше нуля 
и локальный минимум, если наоборот 
.
Если же вторая производная равна нулю 
, то точка может и не быть точкой экстремума.
35. Выпуклость функции. Дифференцируемая функция называется выпуклой вниз на интервале Х, если ее график расположен не ниже касательной к нему в любой точке интервала Х.
Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх на интервале Х, если ее график расположен не выше касательной к нему в любой точке интервала Х.
Точка 
называется точкой перегиба графика функции y=f(x), если в данной точке существует касательная к графику функции (она может быть параллельна оси Оу) и существует такая окрестность точки 
, в пределах которой слева и справа от точки М график функции имеет разные направления выпуклости. Другими словами, точка М называется точкой перегиба графика функции, если в этой точке существует касательная и график функции меняет направление выпуклости, проходя через нее.
|
|
|
36. Схема исследования функции.
1. Область определения 
и область допустимых значений 
функции.
2. Четность, нечетность функции.
3. Точки пересечения с осями.
4. Асимптоты функции.
5. Экстремумы и интервалы монотонности.
6. Точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости.
7. Сводная таблица.
При построении графика функции необходимо провести ее предварительное исследование.
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 18; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!