Показательная форма комплексного числа

Показательной формой комплексного числа называется выражение

24.При возведении комплексного числа в любую целую степень модуль комплексного числа возводится в ту же степень, а аргумент умножается на показатель степени.

(a+ i b)2=

=(r (cos (φ)+ i·sin (φ)))²=

1.	= r ²(cos (2 φ)+ i·sin (2 φ))
(a + i b) ⁿ =

=(r (cos (φ)+ i·sin (φ))) ⁿ =

3.	= rⁿ (cos (nφ)+ i·sin (nφ))

Корень -ой степени из комплексного числа обозначается символом и на множестве комплексных чисел имеет ровно значений.

Если комплексное число задано в тригонометрической форме: , то все значения корня -ой степени вычисляются по формуле Муавра (Абрахам де Муавр (1667 - 1754) - английский математик):

Геометрически все значения корня лежат на окружности радиуса с центром в начале координат и образуют правильный -угольник.

25. Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения дискриминанта

при корней два, и они вычисляются по формуле

(1)

при корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:

при вещественных (действительных) корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой

26. Функция одной переменной. Пусть задана функция у = f(x), определенная при значении аргумента, равном х ₀. Дадим аргументу приращение D х, т.е. рассмотрим значение аргумента, равное x ₀ + D х. Предположим, что это значение аргумента также входит в область определения данной функции. Тогда разность
D y = f(x ₀ + D х) – f(x₀) называется приращением функции.

Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки x ₀, (включая саму эту точку).

Если существует предел отношения приращения функции Δ y = f (x ₀ + Δ x) − f (x ₀) к вызвавшему его приращению аргумента Δ x, когда Δ x → 0, то этот предел называется производной функции y = f (x) в точке x ₀ и обозначается символом f '(x ₀), т.е.