Простейшие элементарные функции

Основные элементы поведения функции:

1) Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

2) Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

3) Периодическость функции - Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими.

4) Монотонность функции.

Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5) Ограниченная и неограниченная функции. - Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x. Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

Основные элементарные функции (степенные)

Степенная функция Свойства функции. 1. Если х = 0, то у = 0, т.е. график функции имеет с осями координат общую точку (0; 0) - начало координат.2. Если х > 0, то у > 0, т.е. все точки графика функции, крoме начала координат, лежат над осью абсцисс.3. Множеством значений функции является промежуток [0;+∞).4. Функция не является ни четной, ни нечетной.5. Функция возрастающая в области определения.6. Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

Степенная функция у=х² 1. D(x)=R – функция определена на все числовой оси; 2. E(y)=[0;∞) - функция принимает положительные значения на всей области определения; 3. При х=0 у=0 - функция проходит через начало координат O(0;0). 4. Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке [0;∞). 5. Функция является четной (симметрична относительно оси Оу).

Степенная функция y=x3 обладает следующими свойствами: 1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) для любого n; 2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), если n – нечетное число; E(y)=(0;∞), если n – четное число; 3. Функция убывает на всей области определения, если n – нечетное число; функция возрастает на промежутке (-∞;0) и убывает на промежутке (0;∞), если n – четное число. 4. Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат), если n – нечетное число; функция является четной, если n – четное число. 5. Функция проходит через точки (1;1) и (-1;-1), если n – нечетное число и через точки (1;1) и (-1;1), если n – четное число.

Степенная функция y=1/x обладает следующими свойствами: 1. D(x) ÎR, если n – нечетное число и D(x)=[0;∞), если n – четное число; 2. E(y) Î (-∞;0)U(0;∞), если n – нечетное число; E(y)=[0;∞), если n – четное число; 3. Функция возрастает на всей области определения для любого числа n. 4. Функция проходит через начало координат в любом случае.

Основные элементарные функции (тригонометрические)

Функция y = sin (х). 1. Область определения D(x) ÎR. 2. Область значений E(y) Î [ - 1; 1]. 3. Функция периодическая; основной период равен 2π. 4. Функция нечетная. 5. Функция возрастает на промежутках [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] и убывает на промежутках [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n Î Z.

Функция y = cos(х). 1. Область определения D(x) ÎR. 2. Область значений E(y) Î [ - 1; 1]. 3. Функция периодическая с основным периодом 2π. 4. Функция четная. 5. Функция убывает на промежутках [2πn; π+ 2πn] и возрастает на промежутках [-π+ 2πn; 2πn], nπZ.

Функция y = tg х. 1. Область определения: D(x) Ï π/2 + πk, kÎZ. 2. Область значений E(y) Î (- ∞; + ∞) 3. π- основной период функции. 4. Функция нечетная. 5. Функция возрастает на промежутках (-π/2 +πn;π/2 +πn).

Функция y = ctg х. 1. Область определения функции: D(x) Ï xπ/2 +πk, kÎZ. 2. Область значений функции E(y) Î (- ∞; + ∞). 3. Функция периодическая с основным периодом π. 4. Функция нечетная. 5. Функция у = ctg х убывает на промежутках (πn;π+πn).

Основные элементарные функции (обратные тригонометрические)

Функция y = arcsin (x): Свойства функции y = arcsin (x): 1. Область определения D(x)Î[−1;1] 2. Область значения E(y)Î [−π/2;π/2] 3. y=arcsin(x)- непрерывная строговозрастающая функция на D 5. График y = arcsin(x) симметричен графику y = sin(x) относительно линии y=x 6. y=arcsin(x) нечетная функция т.е. ∀x∈[−1;1] arcsin(−x)=−arcsin(х)

Функция y = arccos (x): Свойства функции y = arccos (x): 1. Область определения D(x)Î[−1;1] 2. Область значения E(y)Î [0;π] 3. y=arccos(x)- непрерывная строговозрастающая функция на D 5. График y = arccos(x) симметричен графику y = cos(x) относительно линии y=x 6. y=arccos(x) функция общего вида

Функция y = arc с tg (x): Свойства функции y = arcсtg (x): 1. Область определения D(x)Î(- ∞;+∞) 2. Область значения E(y)Î [0; π] 3. y=arctg (x)- непрерывная строгоубывающая функция на D 4. График y = arcсtg(x) симметричен графику y = сtg(x) относительно линии y=x 5. y=arcctg(x) функция общего вида.

Основные элементарные функции (показательная, логарифмическая)

Показательная

Основные свойства показательной функции: 1. Область определения — множество (R) всех действительных чисел. 2. Область значений — множество (R+) всех положительных действительных чисел. 3. При а > 1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0<а<1 функция убывает. 4. Является функцией общего вида.

Логарифмическая

Логарифмическая функция у = loga x обладает следующими свойствами: 1. Область определения D(x)Î (0; + ∞). 2. Область значений E(y) Î (- ∞; + ∞) 3. Функция ни четная, ни нечетная (общего вида). 4. Функция возрастает на промежутке (0; + ∞) при a > 1, убывает на (0; + ∞) при 0 < а < 1.

Простейшие элементарные функции

Прямая линия - график линейной функции y = ax + b. Функция монотонно возрастает при a > 0 и убывает при a < 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность)

Парабола - график функции квадратного трёхчлена у = ах2 + bх + с. Имеет вертикальную ось симметрии. Если а > 0, имеет минимум, если а < 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax2 + bx +с =0

Дробно-линейной функцией называется функция, заданная формулой где . Область определения этой функции . 1. При возрастании положительных значений аргумента значения функции убывают и стремятся к нулю, но остаются положительными. 2. При возрастании положительных значений функции значения аргумента убывают и стремятся к нулю, но остаются положительными.

Функция y = |x|

Свойства функции 1. Если х = 0, то у = 0, т.е. график пересекает оси координат в точке (0; 0) - начале координат.2. Если х ≠ 0, то у > 0, т.е. все точки графика функции y = |x|, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.3. Множеством значений функции y = |x| является промежуток [0;+∞).4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то значения функции равны, т.е. график функции симметричен относительно ординат (функция y = |x| - четная).5. На промежутке [0;+∞) функция y = |x| возрастает.6. На промежутке (-∞;0] функция y = |x| убывает.7. Наименьшее значение функция принимает в точке х, оноравно 0. Наибольшего значения не существует.

10.

Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 18; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!