Полином Чебышева и решение задачи оптимизации параметров
Очевидно, что 
, 
– полиномы.
Т.к. 
, то при 
имеем 
– полином при любом 
.
Точки экстремумов 
: 
:
, 
.
Корни полинома : 
:
, 
.
Линейное преобразование 
: 
.
Рассмотрим полином: 
.
Очевидно, что 
, 
– корни полинома.
Покажем, что этот полином наименее уклоняется от нуля на интервале 
среди всех полиномов 
, т.е. 
.
| Теорема. | Если  , то  .
|
| Док-во. | Пусть  ,
тогда  :  .
Так как
· полином  имеет экстремумы (одинаковые по модулю) в точках  :  ,  :  , и  знакопеременна:
то разность 
· полином степени  ,
· последовательность  знакопеременна  в интервале  имеется попарно различных корней полинома  (т.к. внутри интервала  имеется хотя бы один корень),
·  – корень ( –ый) полинома (именно здесь мы использовали условие ).
 , т.е.  – противоречие.
Следовательно,  .
|
Осталось вычислить 
.
| Теорема. | Если , то  , где  .
|
| Док-во. | Очевидно,  .
Для вычисления  воспользуемся формулой
 при  .
|
Заметим, что
 .
Тогда  .
Док-во формулы  при .
Действительно, и .
Осталось проверить, что  или
 .
Пусть  , тогда
 , что и тр. док.
|
Итак, 
– решение задачи оптимизации параметров за шагов.
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 19; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!