Необходимое и достаточное условие сходимости метода Зейделя в случае симметричной матрицы с положительной главной диагональю

⇐ ПредыдущаяСтр 19 из 39Следующая ⇒

Теорема.

Если

, то

(т.е. метод Зейделя сходится)

Док–во.

Необходимость: Пусть

, но

, т.е.

(

все

вещественны,

, иначе

). Зададим

и оценим

, метод не сходится, что противоречит

. Достаточность. Докажем, что

, т.е. метод сходится.

если

, то

: 1.

. 2.

Из 1.–2.

. Но, более того, т.к. ·

, ·

(здесь

– орт), то

, т.е.

Лекция 7.

Функционал ошибки

Второй из способов построения итерационного метода решения системы линейных алгебраических уравнений () состоит из построения последовательности приближений такой, что , т.е. строгого убывания на каждом шаге функционала ошибки .

Теорема.	Если () и отображение (оператор шага для ошибки: ) непрерывно при , то , т.е. .
Док–во.	Т.к. , то . Предположим, что . Т.к. , то . Т.к. , то . Тогда, выполнив предельный переход в соотношениях получим противоречие: .