Потери напора при резком расширении установившегося турбулентного потока несжимаемой жидкости. Формула Борда

Задача о потерях напора при резком расширении была решена фран­цузским инженером-гидравликом Борда в XVIII веке, и полученное им решение практически не претерпело уточнений до сих пор. Хотя в насто­ящее время получают зависимости для потерь напора на основе рассуж­дений, отличных от тех, которые использовались в XVIII веке, зависи­мость для вычисления потерь напора при резком расширении называют формулой Борда.

Пусть поток из трубы 1 диаметра попадает в трубу 2 с диамет­ром D₂ (рис. 5.23). Средняя скорость в трубе 1 равна v_l а в трубе 2 — v₂. Согласно уравнению неразрывности, для несжимаемой жидкости , где и — площади поперечных сечений труб 1 и 2, соответственно.

Будем считать, что на выходе из трубы 1 поток расширяется и на некотором расстоянии, обычно измеряемом несколькими диаметрами трубы 2, в сечении 2' - 2' он вновь занимает все поперечное сечение трубопровода. На этом участке образуется тороидальная водоворотная об­ласть, которая охватывает со всех сторон транзитный поток. В сечении 2'—2' движение резкоизменяющееся, скорости распределены весьма не­равномерно; лишь на расстоянии в несколько D₂ от сечения 2'—2', где кончается водоворотная область, расположено сечение 2—2, в котором движение плавноизменяющееся.

Описанные выше особенности потока при его резком расширении характерны для турбулентного режима движения, и в последующем вы­воде будет предполагаться именно такой режим движения, что позволит сделать соответствующие допущения. В случае ламинарного режима об­щий вид расширяющегося потока может быть совершенно иным, напри­мер, водоворотная зона может отсутствовать, и будет иметь место бе-

Рис. 5.23. Резкое расширение турбулентного потока

зотрывное расширение потока. При этом большинство допущений, при­нятых в последующем выводе формулы Борда, будут вносить неприемле­мые погрешности в окончательный результат.

Потеря напора входит в уравнение Бернулли, которое записывается для живых сечений потока. Наметим на рис. 5.23 два таких сечения: 1—1 и 2—2 (движение в них плавно изменяющееся); сечение 2'—2', очевидно, нельзя использовать, так как движение здесь резкоизменяющееся.

Для определения потери напора между сечениями 1 — 1 и 2—2, т.е. удельной мощности внутренних сил в выделенном объеме потока (дис-сипированной мощности), воспользуемся тем, что в уравнение, выра­жающее закон изменения количества движения, внутренние силы не входят. Определив с помощью этого уравнения внешние поверхностные силы, действующие в сечениях 1 — 1 и 2—2, и подставив полученные значения в уравнение Бернулли, выражающее закон изменения кинети­ческой энергии (в котором учитываются работы и внешних и внутренних поверхносных сил), можно выделить работу внутренних сил, а через нее и потерю напора.

Легко доказать (это почти очевидно), что внешние объемные (массо­вые) силы не оказывают влияния на работу внутренних сил трения, кото­рая зависит от структуры потока. Учитывая это, примем для простоты, что ось трубы х горизонтальна.

Уравнение Бернулли для сечений 1—1 и 2—2 представим в виде

, (5.133)

где h_pp — потеря напора при резком расширении; h_l — потеря напора

по длине на участке длиной L от сечения 1 — 1 до сечения 2—2; индекс С означает, что значение относится к центру тяжести сечения.

Здесь = = 0, поэтому вклад в изменение кинетической энер­гии вносят поверхностные внешние силы давления, которые действуют по сечениям 1—1 и 2—2:

(5.134)

Установим с помощью уравнения количества движения дополни­тельную к (5.134) зависимость между () и средними скоростями потока v₁ и v₂, чтобы получить искомую связь между и скоростями v₁ и v₂.

Запишем в проекции на горизонтальную ось х гидравлическое урав­нение количества движения (5.36) для контрольного объема, выделенно­го (см. рис. 5.23) сечениями 1—1 и 2—2; контрольная поверхность А ука­зана на рис. 5.23 штриховой линией; (в этот объем входят и транзитная струя, и водоворотная область):

(5.135)

Представим контрольную поверхность А, ограничивающую , в виде суммы

,

где и — площади живых сечений потока 1—1 и 2—2; А_к — площадь поверхности кольца асс а', соединяющего трубы; А_ц — площадь цилиндрической поверхности трубы 2 между сечениями 1 — 1 и 2—2. Проекцию на ось х равнодействующей силы, действующей на боковую поверхность А_бок = А_к + А_ц, представим в виде (5.136)

где p_nn — нормальное напряжение на поверхности А_к; р_пх — касательное напряжение на А_ц.

Примем два допущения.

1. Касательное напряжение р_пх, которое обозначим (), так как

направлено в сторону, противоположную направлению оси х, на большей части поверхности А_ц можно рассчитывать, используя динамическое уравнение равномерного движения (5.96)

;

Это оправдывается тем, что расстояние L от сечения 2' — 2' до сече­ния 2—2 во много раз больше, чем длина водоворотной области, и на этом участке можно принять J_p = J_e.

При этом

2. Нормальное напряжение р_nn на А_к определяется по такому же закону, что и в сечении , следовательно, зависимость можно экстраполировать на всю площадь () и объединить часть первого (см. (5.136)) и третье слагаемые в правой части (5.135).

В результате получим

(5.137)

Принимая во внимание, что , а также используя уравнение неразрывности = , приводим (5.137) к виду

(5.138)

Для дальнейших преобразований введем еще одно допущение в дополнение к указанным:

т.е. будем считать, что скорости в сечениях 1—1 и 2—2 распределены равномерно. Это достаточно хорошо отвечает действительности (с точностью 7...10 %) при турбулентном движении. Под­ставляя (5.138) в (5.134), имеем

После элементарных преобразований получаем окончательную фор­мулу для вычисления потерь напора при резком расширении потока: (5.139)

Эта зависимость и называется формулой Борда.

Формулу (5.139) преобразуем, выразив v₂ и v₁, согласно уравнению неразрывности, и представим в виде (5.140)

Формулу Барда в виде (5.140) используем при получении формулы для местных потерь напора в общем случае.

 

---

Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 33; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!