Изучение тригонометрических функций.
| 2. Study of the trigonometric functions. |
Trigonometric functions are unitless values that vary with the size of an angle. An angle placed in a rectangular coordinate plane is said to be in standard position if its vertex coincides with the origin and its initial side coincides with the positive x -axis.
In Fig. 3, let P, with coordinates x and y, be any point other than the vertex on the terminal side of the angle θ, and r be the distance between P and the origin. Each of the coordinates x and y may be positive or negative, depending on the quadrant in which the point P lies; x may be zero, if P is on the y - axis, or y may be zero, if P is on the x -axis. The distance r is necessarily positive and is equal to
|
in accordance with the Pythagorean theorem (see Geometry).
|
The six commonly used trigonometric functions are defined as follows:
|
Since x and y do not change if 2 radians are added to the angle—that is, 360° are added—it is clear that sin (θ + 2) = sin θ. Similar statements hold for the five other functions. By definition, three of these functions are reciprocals of the three others, that is,
|
If point P, in the definition of the general trigonometric function, is on the y -axis, x is 0; therefore, because division by zero is inadmissible in mathematics, the tangent and secant of such angles as 90°, 270°, and -270° do not exist. If P is on the x -axis, y is 0; in this case, the cotangent and cosecant of such angles as 0°, 180°, and -180° do not exist. All angles have sines and cosines, because r is never equal to 0.
Since r is greater than or equal to x or y, the values of sin θ and cos θ range from -1 to +1; tan θ and cot θ are unlimited, assuming any real value; sec θ and csc θ may be either equal to or greater than 1, or equal to or less than -1.
It is readily shown that the value of a trigonometric function of an angle does not depend on the particular choice of point P, provided that it is on the terminal side of the angle, because the ratios depend only on the size of the angle, not on where the point P is located on the side of the angle.
If θ is one of the acute angles of a right triangle, the definitions of the trigonometric functions given above can be applied to θ as follows (Fig. 4). Imagine the vertex A is placed at the intersection of the x -axis and y -axis in Fig. 3, that AC extends along the positive x -axis, and that B is the point P, so that AB = AP = r. Then sin θ = y / r = a / c, and so on, as follows:
|
|
|
|
The numerical values of the trigonometric functions of a few angles can be readily obtained; for example, either acute angle of an isosceles right triangle is 45°, as shown in Fig. 4. Therefore, it follows that
|
|
The numerical values of the trigonometric functions of any angle can be determined approximately by drawing the angle in standard position with a ruler, compass, and protractor; by measuring x, y, and r; and then by calculating the appropriate ratios. Actually, it is necessary to calculate the values of sin θ and cos θ only for a few selected angles, because the values for other angles and for the other functions may be found by using one or more of the trigonometric identities that are listed below.
Тригонометрические функции безразмерный значения, которые изменяются с размером углом. Угол размещены в прямоугольной координатной плоскости назовем в стандартном положении, если его вершина совпадает с началом и его начальная часть совпадает с положительным оси х.
На рис. 3, пусть Р, с координатами х и у, любая точка, кроме вершины на концевой стороне Угол, и г расстояние между PAND происхождение. Каждый из координат х и у могут быть положительными или отрицательными, в зависимости от квадранта, в котором точка Р лежит; х может быть равно нулю, если Р на оси у или у может быть равно нулю, если Р на оси абсцисс. Расстояние г обязательно положительным и равен
в соответствии с теоремой Пифагора (см Геометрия).
|
|
|
Шесть обычно используемых тригонометрические функции определяются следующим образом:
С х и у не изменится, если 2радиан добавляются в угол, то есть 360 ° добавлены-то ясно, что грех (θ + 2) = грех θ. Подобные заявления справедливы для пяти других функций. По определению, три из этих функций обратные трех других, то есть,
Если точка Р, в определении общей тригонометрической функции, на оси у, х = 0; Поэтому, из-за деления на ноль недопустимо в математике, касательное и секущей таких углов, как 90 °, 270 ° и -270 ° не существует. Если Р на оси абсцисс, у представляет 0; В этом случае, котангенс и косеканс таких углов в 0 °, 180 ° и -180 °, не существует. Все углы имеют синусы и косинусы, поскольку г никогда не равна 0.
Так как т больше, чем или равно х или у, значения греха цилиндра и COS&thetas диапазоне от -1 до +1; загар θ и θ кроватка безграничны, предполагая никакого реального значения; сек θ и θCSC может быть равна или больше 1, либо равна или меньше -1.
Легко показать, что значение тригонометрической функции угла не зависит от конкретного выбора точки Р, при условии, что он находится на концевой стороне угла, так как коэффициенты зависят только от величины угла, не от того, где точка Р расположена на стороне угла.
|
|
|
Если θ является одним из острых углов прямоугольного треугольника, определения тригонометрических функций, приведенных выше может быть применен кθ следующим образом (рис. 4). Представьте себе вершину А помещается на пересечении х-оси и оси у на рис. 3, что АС простирается вдоль положительного оси х, и что В является точка Р, так что АВ = АР = г. Затем грех θ = у / г = A / C, и так далее, а именно:
Численные значения тригонометрических функций нескольких углов может быть легко получен; например, либо острый угол равнобедренного прямоугольного треугольника 45 °, как показано на рис. 4. Такимобразом, следует, что
Численные значения тригонометрических функций любого угла может быть определена примерно в рисунок угол в стандартном положении с линейкой, компас, транспортир и; путем измерения х, у, г; и затем путем расчета соответствующих соотношениях. На самом деле, это необходимо, чтобы вычислить значения грех цилиндра и соз&thetas только для нескольких выбранных углов, так как значения для других углов и для других функций можно найти, используя один или более из тригонометрические тождества, перечисленных ниже.
Билет
Дата добавления: 2016-01-03; просмотров: 13; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!