Основні властивості визначників
1) | Транспонування не змінює значення визначника. |
Наприклад, . (Ця властивість вказує на рівноправність рядків та стовпців з визначника.) | |
2) | Якщо всі елементи рядка (або стовпця) визначника дорівнюють нулю, тоді визначник дорівнює нулю. |
Наприклад, . | |
3) | Якщо визначник має два однакові рядки (або стовпці), тоді він дорівнює нулю. |
Наприклад, . | |
4) | Якщо визначник має два пропорційні рядки (або стовпці), тоді він дорівнює нулю. |
Наприклад, . | |
5) | Якщо у визначнику поміняти місцями два рядки (або стовпці), то знак визначника зміниться на протилежний. |
Наприклад, . | |
6) | Спільний множник рядка (або стовпця) можна винести за знак визначника. |
Наприклад, . | |
7) | Якщо до рядка (або стовпця) визначника додати його інший рядок (або стовпець), помножений на довільне число, то значення визначника не зміниться. |
Наприклад, . | |
8) | Якщо всі елементи рядка (або стовпця) визначника можна подати у вигляді суми двох доданків, то цей визначник дорівнює сумі визначників, які визначаються цими доданками. |
Наприклад, . |
Доведення властивостей визначників можна проілюструвати на прикладі визначника другого порядку, визначивши ліву та праву частину у наведених вище співвідношеннях.
Використовуючи властивості визначників і теорему Лапласа, можна легко обчислювати визначники високих порядків.
|
|
Квадратну матрицю, визначник якої дорівнює нулю, називають виродженою матрицею. Квадратну матрицю, визначник якої не дорівнює нулю, називають невиродженою матрицею. |
Наприклад, визначник матриці відрізняється від нуля ( ), тому матриця не є виродженою.
Теорема 1.2. | Для того, щоб матриця мала обернену необхідно і достатньо, щоб визначник матриці відрізнявся від нуля. |
Отже, невироджена матриця має обернену.
Обернену матрицю можна знайти за наступним правилом.
Теорема 1.3. | Обернена матриця дорівнює транспонованій матриці алгебраїчних доповнень до елементів матриці , яку поділено на визначник матриці . |
Для матриць другого і третього порядку згідно теоремі 1.3 будемо мати наступні формули для знаходження оберненої матриці:
, (1.6)
. (1.7)
Правильність обчислення оберненої матриці перевіряють за допомогою співвідношень (1.1): і .
Алгоритм обчислення оберненої матриці
1) | Перевірка матриці на невиродженість. |
2) | Знаходження алгебраїчних доповнень до всіх елементів матриці . |
3) | Формування транспонованої матриці алгебраїчних доповнень. |
4) | Обчислення оберненої матриці. |
5) | Перевірка правильності обчислення оберненої матриці. |
|
|
Властивості обертання невироджених матриць
1) | ; |
2) | ; |
3) | ; |
4) | ; |
5) | . |
Приклад 1.4. | Знайти обернену до матриці . |
Розв’язання. Визначник матриці відрізняється від нуля:
.
Отже матриця є невиродженою і обернена до неї існує. Знайдемо алгебраїчні доповнення до кожного елементу вихідної матриці:
, , , .
За формулою (1.6) можемо записати: .
Перевірка підтверджує правильність проведених обчислень:
,
Приклад 1.5. | Знайти обернену до матриці . |
Розв’язання. Вихідна матриця є не виродженою, оскільки . Обчислимо алгебраїчні доповнення:
За формулою (1.7) маємо:
, отже .
Рангом матриці розмірності називають найбільший порядок відмінного від нуля мінору матриці і позначають . Ненульовий мінор матриці, що визначає її ранг, називають базисним. |
Ранг матриці визначається порядком ненульового мінору, а не його значенням. Якщо , то це означає, що існує хоча б один відмінний від нуля мінор порядку , а всі мінори порядку, більшого від дорівнюють нулю. Зрозуміло, що .
|
|
Системи лінійних рівнянь
Системою лінійних алгебраїчних рівнянь називають сукупність лінійних рівнянь відносно невідомих: (1.8) де - невідомі змінні, - коефіцієнти при невідомих, - вільні члени . |
Якщо всі вільні члени дорівнюють нулю , то систему лінійних рівнянь (1.8) називають однорідною. У протилежному випадку, тобто коли не всі вільні члени нульові, систему (1.8) називають неоднорідною. |
Випишемо основну матрицю системи: , яка складається з коефіцієнтів при невідомих; матрицю-стовпець вільних членів: ; матрицю-стовпець невідомих: .
Використовуючи дії над матрицями, систему рівнянь (1.8) можна записати у матричній формі
. (1.9)
Розв’язком системи лінійних рівнянь (1.8) називають таку сукупність чисел , яка перетворює всі рівняння (1.8) в числові тотожності. |
Загальний розв’язок системи передбачає вираз основних невідомих через вільні. Частинний розв’язок одержують із загального наданням вільним змінним певних значень
Розширена матриця системи (1.8) або (1.9) складається з матриці і стовпця вільних членів і має вигляд (для зручності стовпець вільних членів у розширеній матриці відділяють вертикальною лінією):
|
|
.
Систему рівнянь називають сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок, і несумісною, якщо вона не має жодного розв’язку. |
Систему називають визначеною, якщо вона має тільки один розв’язок, і невизначеною, якщо система має більше одного розв’язку. |
Однорідна система завжди є сумісною, оскільки завжди має нульовий розв’язок.
Дата добавления: 2019-02-13; просмотров: 279; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!