Основні властивості визначників
| 1) | Транспонування не змінює значення визначника. |
Наприклад,  . (Ця властивість вказує на рівноправність рядків та стовпців з визначника.)
| |
| 2) | Якщо всі елементи рядка (або стовпця) визначника дорівнюють нулю, тоді визначник дорівнює нулю. |
Наприклад,  .
| |
| 3) | Якщо визначник має два однакові рядки (або стовпці), тоді він дорівнює нулю. |
Наприклад,  .
| |
| 4) | Якщо визначник має два пропорційні рядки (або стовпці), тоді він дорівнює нулю. |
Наприклад,  .
| |
| 5) | Якщо у визначнику поміняти місцями два рядки (або стовпці), то знак визначника зміниться на протилежний. |
Наприклад,  .
| |
| 6) | Спільний множник рядка (або стовпця) можна винести за знак визначника. |
Наприклад,  .
| |
| 7) | Якщо до рядка (або стовпця) визначника додати його інший рядок (або стовпець), помножений на довільне число, то значення визначника не зміниться. |
Наприклад,  .
| |
| 8) | Якщо всі елементи рядка (або стовпця) визначника можна подати у вигляді суми двох доданків, то цей визначник дорівнює сумі визначників, які визначаються цими доданками. |
Наприклад,  .
|
Доведення властивостей визначників можна проілюструвати на прикладі визначника другого порядку, визначивши ліву та праву частину у наведених вище співвідношеннях.
Використовуючи властивості визначників і теорему Лапласа, можна легко обчислювати визначники високих порядків.
| Квадратну матрицю, визначник якої дорівнює нулю, називають виродженою матрицею. Квадратну матрицю, визначник якої не дорівнює нулю, називають невиродженою матрицею. |
Наприклад, визначник матриці 
відрізняється від нуля ( 
), тому матриця 
не є виродженою.
| Теорема 1.2. | Для того, щоб матриця  мала обернену  необхідно і достатньо, щоб визначник матриці відрізнявся від нуля.
|
Отже, невироджена матриця має обернену.
Обернену матрицю можна знайти за наступним правилом.
| Теорема 1.3. | Обернена матриця дорівнює транспонованій матриці алгебраїчних доповнень до елементів матриці , яку поділено на визначник матриці  .
|
Для матриць другого і третього порядку згідно теоремі 1.3 будемо мати наступні формули для знаходження оберненої матриці:
, (1.6)
. (1.7)
Правильність обчислення оберненої матриці перевіряють за допомогою співвідношень (1.1): 
і 
.
Алгоритм обчислення оберненої матриці
| 1) | Перевірка матриці на невиродженість.
|
| 2) | Знаходження алгебраїчних доповнень  до всіх елементів  матриці  .
|
| 3) | Формування транспонованої матриці алгебраїчних доповнень. |
| 4) | Обчислення оберненої матриці. |
| 5) | Перевірка правильності обчислення оберненої матриці. |
Властивості обертання невироджених матриць
| 1) |  ;
|
| 2) |  ;
|
| 3) |  ;
|
| 4) |  ;
|
| 5) |  .
|
| Приклад 1.4. | Знайти обернену до матриці  .
|
Розв’язання. Визначник матриці відрізняється від нуля:
.
Отже матриця є невиродженою і обернена до неї 
існує. Знайдемо алгебраїчні доповнення до кожного елементу вихідної матриці:
, 
, 
, 
.
За формулою (1.6) можемо записати: 
.
Перевірка підтверджує правильність проведених обчислень:
, 
| Приклад 1.5. | Знайти обернену до матриці  .
|
Розв’язання. Вихідна матриця є не виродженою, оскільки 
. Обчислимо алгебраїчні доповнення:
За формулою (1.7) маємо:
, отже 
.
Рангом матриці розмірності  називають найбільший порядок відмінного від нуля мінору матриці і позначають  . Ненульовий мінор матриці, що визначає її ранг, називають базисним.
|
Ранг матриці визначається порядком ненульового мінору, а не його значенням. Якщо 
, то це означає, що існує хоча б один відмінний від нуля мінор порядку 
, а всі мінори порядку, більшого від 
дорівнюють нулю. Зрозуміло, що 
.
Системи лінійних рівнянь
Системою лінійних алгебраїчних рівнянь називають сукупність  лінійних рівнянь відносно  невідомих:
 (1.8)
де  - невідомі змінні, - коефіцієнти при невідомих,  - вільні члени  .
|
Якщо всі вільні члени дорівнюють нулю   , то систему лінійних рівнянь (1.8) називають однорідною. У протилежному випадку, тобто коли не всі вільні члени нульові, систему (1.8) називають неоднорідною.
|
Випишемо основну матрицю системи: 
, яка складається з коефіцієнтів при невідомих; матрицю-стовпець вільних членів: 
; матрицю-стовпець невідомих: 
.
Використовуючи дії над матрицями, систему рівнянь (1.8) можна записати у матричній формі
. (1.9)
Розв’язком системи лінійних рівнянь (1.8) називають таку сукупність чисел  , яка перетворює всі рівняння (1.8) в числові тотожності.
|
Загальний розв’язок системи передбачає вираз основних невідомих через вільні. Частинний розв’язок одержують із загального наданням вільним змінним певних значень
Розширена матриця 
системи (1.8) або (1.9) складається з матриці і стовпця вільних членів 
і має вигляд (для зручності стовпець вільних членів у розширеній матриці відділяють вертикальною лінією):
.
| Систему рівнянь називають сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок, і несумісною, якщо вона не має жодного розв’язку. |
| Систему називають визначеною, якщо вона має тільки один розв’язок, і невизначеною, якщо система має більше одного розв’язку. |
Однорідна система завжди є сумісною, оскільки завжди має нульовий розв’язок.
Дата добавления: 2019-02-13; просмотров: 284; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!