Правила оформлення контрольної роботи

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ,

МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

Донецький національний університет економіки

і торгівлі імені Михайла Туган-Барановського

 

Кафедра вищої і прикладної математики

 

 

О.К. Щетініна, О.В. Шепеленко, В.Є. Силенко

 

 

 

 

 

 

 

ДонНУЕТ

Донецьк

2012

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ,

МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

Донецький національний університет економіки

і торгівлі імені Михайла Туган-Барановського

 

 

Кафедра вищої і прикладної математики

 

О.К. Щетініна, О.В. Шепеленко, В.Є. Силенко

 

 

МАТЕМАТИка для економістів:

Вища математика

 

НАВЧАЛЬНИЙ ПОСІБНИК

для організації самостійної роботи студентів

денної і заочної форм навчання

 

	Затверджено на засіданні кафедри вищої і прикладної математики Протокол № 25 від 22.03.2012 р.
	Схвалено навчально-методичною радою ДонНУЕТ Протокол № від 29.03.2012 р.

 

                                                  ДонНУЕТ

Донецьк

2012

УДК 511(075.8)

ББК 22.16я73

   Щ-70       

 

 

Рецензенти:

      С.В. Скрипник - канд. фіз.-мат. наук, доцент;

      Т.О. Фоміна - канд. фіз.-мат. наук, доцент

 

Щетініна О.К.

Щ-70      Математика для економістів: вища математика. Частина I: навч. посіб. для для організації самост. роботи студ. денної і заочної форм навчання / О.К. Щетініна, О.В. Шепеленко, В.Є. Силенко. – Донецьк: ДонНУЕТ, 2012. – 153 c.

 

 

Навчальний посібник призначено для організації самостійної роботи студентів денної і заочної форм навчання з дисципліни “Математика для економістів” у відповідності з новими стандартами підготовки спеціалістів економічного профілю. Навчальний посібник може бути використано студентами інших спеціальностей.

Посібник містить теоретичні питання, приклади розв’язування типових задач.

 

 

                                                                                                           УДК 511(075.8)

ББК 22.16я73

 

© Щетініна О.К., Шепеленко О.В.,    Силенко В.Є., 2012 © Донецький національний університет      економіки і торгівлі   імені Михайла Туган-Барановського, 2012

Зміст

Вступ……………………………………………………………………..		5
ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ I Елементи лінійної алгебри і аналітичної геометрії…..		8
1. Елементи лінійної алгебри….…..………………………...		8
	1.1. Матриці та дії над ними.……….....…….……..……………….	8
	1.2. Визначники та способи їх обчислення.……….………………	15
	1.3. Системи лінійних рівнянь…………….……..…………………	22
2. Елементи аналітичної геометрії…………..……….…..		32
	2.1. Векторна алгебра…………………...……………………..……	32
	2.2. Пряма на площині………………….…………………..…..…..	45
Контрольні питання зі змістового модуля I..............................................		52
ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ II Границі Функції…………………………………………………...….		54
3. Границя числової послідовності та функції. оСНОВНІ пОНЯТТЯ.....……..…………….…….……..…………		54
	3.1. Функціональна залежність. Огляд основних елементарних функцій...……………………………………..…….……..……	54
	3.2. Границя послідовності та її властивості………..….…………	56
	3.3. Нескінченно малі та нескінченно великі послідовності….….	59
	3.4. Границя функції та її властивості…….…...……..……………	61
4. Обчислення границь………..………………………………..		65
	4.1. Методи розкриття невизначеностей…..………………………	65
	4.2. Визначні границі.....……..………….…………………………..	69
	4.3. Порівняння нескінченно малих функцій………...……………	72
5. неперервність функції….…………..…………..…………...		75
	5.1.Неперервність функції в точці і на відрізку.…………….…….	75
	5.2.Класифікація точок розриву……....……………………………	79
Контрольні питання зі змістового модуля II............................................		80
ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ III ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ТА БАГАТЬОХ ЗМІННИХ.………..………….…..………...….		82
6. Похідна функції однієї змінної……….....………………		82
	6.1. Диференційованість функції однієї змінної. Правила обчислення похідних…….…………….....…….……...………	82
	6.2. Таблиця похідних основних елементарних функцій. Похідні вищих порядків..…..……..….……..………………………...…	87
	6.3. Похідні функцій, заданих у параметричній, неявній формах, логарифмічне диференціювання…..…………………..…..….	89
	6.4. Диференціал функції однієї змінної..….………….……..……	91
7. Диференційованість функції БАГАТЬОХ ЗМІННИХ…		94
	7.1. Частинні похідні та повний диференціал…..……..…………..	95
	7.2. Похідна неявної, складної функції. Похідна за напрямом......	98
Контрольні питання зі змістового модуля III...........................................		100
ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ IV Застосування похідної………….…………………………...….		102
8. Дослідження функції однієї змінної.…………..……..		102
	8.1. Умови монотонності та екстремуму……...…..……………….	102
	8.2. Умови опуклості, угнутості, перегину функції…….……...…	109
	8.3. Схема повного дослідження функції однієї змінної............…	113
9. Застосування похідної для знаходження границь та екстремальних значень функцій однієї та багатьох змінних…..….……………………..		122
	9.1. Правило Лопіталя………………..………...…...………………	122
	9.2. Знаходження найбільших (найменших) значень функції однієї змінної.....…………………...……………….…………..	123
	9.3. Екстремум функції двох змінних………………………..……	124
Контрольні питання зі змістового модуля IV...........................................		124
КОНТРОЛЬНІ ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ для самостійної роботи……………………………………….…………………………..		129
Література………..……………………………………………………		148
пРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК……………………………………………		149

 

ВСТУП

 

Болонський процес – це процес структурного реформування національних систем вищої освіти країн Європи, зміни освітніх програм і необхідних перетворень у вузах Європи. Основна мета створення Болонської співдружності – це стимулювання мобільності і створення умов для вільного переміщення студентів, викладачів, науковців, менеджерів освіти в межах простору, а також забезпечення працевлаштування випускників університетів на європейському ринку праці та підвищення конкурентоспроможності європейської вищої школи.

У зв’язку з цим основним напрямком розвитку традиційного вищої освіти в Україні є її модернізація відповідно до положень Болонської декларації, один із принципів якої – впровадження кредитно-модульного навчання як новітньої моделі організації навчального процесу та введення модульно-рейтингової системи оцінки знань студентів.

Кредитно-модульна система організації навчального процесу ‑ це модель організації навчального процесу, яка ґрунтується на об’єднанні модульних технологій навчання та залікових кредитів або залікових освітніх одиниць.

За кредитно-модульною системою організації навчального процесу зміст дисципліни розподіляється на змістові модулі (по 2 ‑ 4 модуля на семестр), тобто навчальна дисципліна формується як система змістових модулів. Модуль – це задокументована закінчена частина освітньо-професійної програми (навчальної дисципліни, практики, державної атестації), яка реалізується відповідними формами навчального процесу. Таким чином, змістовий модуль повинен включати час на проведення лекцій, семінарських, практичних та лабораторних занять, самостійної та індивідуальної роботи (наприклад, курсової роботи), консультацій, практик і контролю знань з модуля (поточного і підсумкового тестування).

Модульно-рейтингова система оцінки знань передбачає 100 бальну шкалу, тобто 100 балів – це максимальна кількість балів, які студент може отримати за академічні успіхи в процесі вивчення змістового модуля. Оцінка знань студента за змістовий модуль враховує оцінки, отримані за всі види проведених занять, за поточне і підсумкове тестування (наприклад, за виконання практичних, лабораторних занять, і т.д.) з урахуванням вагових коефіцієнтів.

Сумарне оцінювання засвоєння навчального матеріалу дисципліни визначається без проведення семестрового екзамену як інтегрована оцінка засвоєння всіх змістових модулів з урахуванням вагових коефіцієнтів. Академічні успіхи студента визначаються за допомогою системи оцінювання знань, яка використовується у вузі, але з обов’язковим приведенням оцінок до національної шкали та шкали ECTS.

В даний час математика перетворилася у повсякденний інструмент дослідження практично всіх наук. Вторгнення математики в усі галузі наукової та практичної діяльності продовжується зі зростаючою інтенсивністю. Йде прогресуючий процес математизації всіх наук, чому сприяє швидке розвиток і впровадження ПЕОМ в діяльність людини. Це також відноситься і до області економічних знань. Тут математика активно використовується для розвитку навичок математичного дослідження економічних проблем, вміння мислити економічними категоріями в області економіки. Тому майже всі вузівські спеціальності в тому чи іншому обсязі містять математику.

Основні завдання дисципліни:

вивчити сучасну мову математики;

ознайомитися з основними обчислювальними прийомами;

сприяти розвитку логічного та аналітичного мислення студентів.

В процесі навчання студент повинен:

оволодіти основними обчислювальними навичками, необхідними для вирішення задач вищої математики;

ознайомитися з сучасною мовою математики, вивчити основи лінійної алгебри та аналітичної геометрії і використовувати ці знання при знайомстві із задачами лінійного програмування;

ознайомитися з елементами математичного аналізу;

застосовувати отримані знання при вивченні економічних понять і досліджувати найпростіші економічні моделі за допомогою методів лінійної алгебри, диференціального числення і диференціальних рівнянь.

Відповідно до робочої програми курсу “Математика для економістів: вища математика” для економічних спеціальностей в рамках навчання студентів за кредитно-модульною системою навчальний процес складається з чотирьох змістових модулів.

Оскільки кредитно-модульна система організації навчального процесу передбачає зменшення числа аудиторних годин і збільшення числа годин на самостійну роботу, то даний навчальний посібник має за мету надати допомогу студентам при самостійному вивченні курсу “Математика для економістів: вища математика”, сприяти свідомому засвоєнню теоретичного матеріалу студентами, формуванню навичок в застосуванні математичних методів, допомогти студентам при самостійному рішенні задач. У зв’язку з тим, що теоретичний матеріал засвоюється студентами набагато легше, коли він супроводжується дається достатнім числом прикладів, що ілюструють його, тому в навчальному посібнику застосовується вищезгаданий підхід.

При вивченні математики дуже важливим є рішення задач. Ще І. Ньютон висловлював думку, що ця сторона справи важливіша, ніж засвоєння теорії. Звичайно, повністю з цим погодитися не можна, але немає сумніву, що для економіста одне лише теоретичне знайомство з матеріалом було б марним. Тому студенти повинні поєднувати вивчення лекцій з розв’язанням завдань з вищої математики.

В кінці кожного змістового модулю в навчальному посібнику представлені контрольні питання, що дозволяють оцінити ступінь засвоєння вивченого матеріалу. Засвоєння навчального матеріалу не може бути ефективним без вирішення завдань, тому в даній розробці наведені зразки розв’язання задач з поясненнями та конкретні практичні рекомендації. Для закріплення вивченого теоретичного матеріалу, а також для виробки навичок і умінь практичного використання отриманих знань студентам пропонується виконати контрольні індивідуальні завдання з кожного змістового модуля з курсу “Математика для економістів: вища математика”. Номер кожної задачі контрольної роботи має вигляд z.y.x, де z та y – порядкові номери змістового модуля та задачі у цьому модулі відповідно, x – номер варіанта. Для виконання слід обрати всі задачі свого варіанта.

Вибір варіанта здійснюється таким чином. Якщо дві останні цифри номера залікової книжки утворюють число, що є не більшим 30, то це число і є номером варіанта. Якщо ж це число більше 30, то треба відняти від нього кратне 30, щоб отримати номер варіанта. Наприклад, дві останні цифри номера залікової книжки 78, тоді , тобто отримали варіант № 18. Останні цифри 00 ‑ беремо варіант № 30.

Робота, що виконана не за своїм варіантом, не зараховується.

Правила оформлення контрольної роботи

1) контрольну роботу слід виконувати в окремому зошиті, залишаючи поля для зауважень викладача,

2) у заголовку роботи (на обкладинці зошита) треба вказати прізвище та ініціали, факультет, курс, групу, номер залікової книжки,

3) розв’язання слід виконувати послідовно для кожного модуля в порядку зростання номерів задач,

4) перед розв’язанням кожної задачі потрібно записати її умову,

5) розв’язок задач треба викладати докладно, пояснюючи дії,

6) наприкінці контрольної роботи необхідно перелічити використану для виконання літературу.

Захист контрольної роботи проводиться у формі співбесіди.

 

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 1

Елементи лінійної алгебри і

Аналітичної геометрії

Елементи лінійної алгебри

Методи матричної алгебри в даний час широко застосовуються не тільки в нормативних економіко-математичних моделях, а й у статистичних розрахунках з обробкою великих масивів інформації. У цьому зв’язку можна послатися, скажімо, на методи аналізу звітного міжгалузевого балансу: вдаючись до операцій з матрицями, економісти і статистики отримують можливість не тільки представити всі балансові розрахунки у вельми компактній і наочній формі, але і використовувати більш зручні обчислювальні процедури при розрахунку тих чи інших народногосподарських показників (наприклад, при визначенні коефіцієнтів повних витрат). Матричне числення застосовується і в багатьох розділах математичної статистики; воно широко використовуються, наприклад, при аналізі так званих взаємозалежних рівнянь регресії, в факторному і дисперсійному аналізі.

Матриці та дії над ними

 

Матрицею порядку  називають прямокутну таблицю чисел, яка має  рядків і стовпців: .

 

Число  називають елементом матриці , який міститься в -му рядку і -му стовпці. Елементи матриці мають подвійну нумерацію. Перший індекс вказує номер рядка, другий – стовпця.

 

Порядком (або розмірністю) матриці називають кількість її рядків та стовпців .

 

 

Матрицю, що складається з одного рядка, називають матрицею-рядком іпозначають: . Матрицю, що складається з одного стовпця, називають матрицею-стовпцем  і позначають: .

 

Наприклад, матриця  має розмірність , матриця  – , матриця –  це матриця-стовпець, матриця  –  це матриця-рядок,

 

Дві матриці  і  називають рівними, якщо вони однакової розмірності  та їх відповідні елементи співпадають, тобто  при будь-яких  та .

 

Нульовоюматрицею (або нуль-матрицею) називають матрицю , всі елементи якої дорівнюють нулю.

 

Матриці поділяють на квадратні, діагональні, трикутні, блочні та ін.

 

Квадратною матрицею називають матрицю, число рядків якої співпадає з числом стовпців .

 

Це число вказує розмірність матриці.

Наведемо приклади квадратних матриць: , .

Загальний вигляд квадратної матриці порядку : . Елементи  називають діагональними. Діагональ, яка з’єднує лівий верхній кут і правий нижній, називають головноюдіагоналлю. Іншу діагональ називають допоміжною.

Тобто з’єднання елементів  і  визначає головну діагональ, а з’єднання елементів  i  – допоміжну діагональ.

 

Квадратну матрицю, всі елементи якої, що не належать головній діагоналі, дорівнюють нулю, називають діагональною матрицею: .

 

Діагональну матрицю, всі діагональні елементи якої дорівнюють одиниці, називають одиничною матрицею.

 

Наприклад,  ‑ одинична матриця другого порядку,  ‑ одинична матриця третього порядку.

Одинична матриця  відіграє, в деякій мірі, в матричному численні ту ж роль, що і одиниця в скалярних величинах.

 

Дії над матрицями

1.	Множення матриці на число

 

Щоб помножити матрицю на число, необхідно на це число помножити всі елементи матриці: .

 

---

Дата добавления: 2019-02-13; просмотров: 173; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!