Властивості лінійних операцій над векторами

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 20Следующая ⇒

1)	;
2)	;
3)	;
4)	;
5)	;
6)	;
7)	;
8)	;
9)	.

Проекцією вектора

на вісь

є вектор

, початком якого є точка

- проекція точки

на вісь

, а кінцем – точка

- проекція точки

на вісь

. Величиною проекції називають довжину вектору проекції

із знаком «+», якщо напрямок вектору

співпадає з напрямком осі

, і довжину

із знаком «-» у протилежному випадку.

Рисунок 2.9 - Проекція вектора на вісь.

Основні властивості проекцій

1)	Проекції рівних векторів на вісь співпадають: якщо , то .
2)	Проекція суми векторів на вісь дорівнює сумі проекцій доданків на цю вісь: .
3)	Проекція добутку вектора на число дорівнює добутку проекції цього вектора на число: .
4)	Величина проекції вектора на вісь дорівнює добутку модуля вектора на косинус кута між вектором і віссю .
5)	;
6)	;
7)	;
8)	;
9)	.

Позначимо через , , орти координатних осей (вектори одиничної довжини, що розташовані відповідно на осях , , і напрямок яких співпадає з напрямком осей).

Координатамивектора

називають проекції цього вектора на координатні вісі.

Нехай - вектор, що розглядається, - проекції вектору на координатні вісі:

, , .

Тоді можна записати формулу розкладення вектору за координатними осями:

. (2.1)

Після вибору в просторі декартової системи координат вектор і трійка його координат взаємно визначають один одне. Тому розкладення вектору зручно записувати у вигляді . Це запис вектора в координатній формі.

Якщо - координати точки , - координати точки , то координати вектору дорівнюють різницям відповідних координат його кінця і початку :

. (2.2)

Дії над векторами в координатній формі

1)	Координати суми двох векторів дорівнюють сумам відповідних координат цих векторів: .
2)	Координати різниці двох векторів дорівнюють різницям відповідних координат цих векторів: .
3)	Координати вектору дорівнюють координатам вектору , які помножено на число : .

Модуль вектора дорівнює кореню квадратному з суми квадратів його координат:

. (2.3)

Приклад 2.1.

У просторі задані точки

. Знайти величину проекції вектора

на вісь

, якщо кут між ними складає

Розв’язання. Спочатку знайдемо координати вектору за формулою (2.2): .

За формулою (2.3) обчислимо модуль вектору :

За четвертою властивістю проекції вектора на вісь знайдемо величину проекції: .

Скалярний добуток векторів

Скалярним добутком

векторів

називають число, що дорівнює добутку їхніх довжин на косинус кута між ними:

. (2.4)

Основні властивості скалярного добутку векторів

1)	;
2)	;
3)	;
4)	скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори ортогональні: ;
5)	скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини: .

Нехай вектори і задані своїми координатами і , тоді формула скалярного добутку векторів і у координатній формі має вигляд:

. (2.5)

З відношення (2.5) випливає формула косинуса кута між векторами:

, (2.6)

або у координатній формі з урахуванням відношень (2.3) і (2.5):

. (2.7)

Проекція вектора на вектор , тобто , у координатній формі має вигляд

. (2.8)

Оскільки орти декартової системи мають координати , , , то з формули (2.7) для будь-якого вектору , одержимо наступні формули косинусів кутів з координатними осями або направляючі косинуси вектору :