Основні властивості векторного добутку векторів
1) | ; |
2) | ; |
3) | ; |
4) | векторний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вектори колінеарні: ; |
5) | . |
Приклад 2.5. | Знайти синус кута між векторами i , а також площу паралелограма, побудованого на цих векторах. |
Розв’язання. За формулою (2.11) обчислимо векторний добуток :
.
Довжину векторів , і знайдемо згідно (2.3):
, , .
З формули (2.11) маємо: .
Відповідно до означення векторного добутку площа паралелограма, побудованого на векторах і дорівнює .
Мішаний добуток векторів
Мішаним добуткомвекторів , і називається скалярний добуток вектора на вектор . |
Якщо , і , то мішаний добуток векторів у координатній формі має вигляд:
. (2.12)
Основні властивості мішаного добутку векторів
1) | ; |
2) | мішаний добуток трьох ненульових векторів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вони компланарні; |
3) | модуль мішаного добутку дорівнює об’єму паралелепіпеда, що побудовано на даних векторах; |
Рисунок 2.11 - Паралелепіпед, що побудовано на векторах , і .
Зауваження | Об’єм піраміди, яку побудовано на векторах , і , дорівнює модулю змішаного добутку цих векторів, що поділено на 6. |
Приклад 2.6. | Довести, що точки , , і лежать в одній площині. |
Розв’язання. Знайдемо координати векторів, що виходять з точки : , , .
|
|
Доведемо, що ці вектори є компланарними, тобто належать одній площині. Для цього обчислимо мішаний добуток одержаних векторів:
.
Згідно другої властивості мішаного добутку вектори , і є компланарними, отже точки , , і лежать в одній площині.
Приклад 2.7. | Знайти об’єм піраміди і довжину висоти , яку опущено на грань , якщо вершини , , і мають наступні координати: , , , . |
Розв’язання. Знайдемо координати векторів, що виходять з вершини : , , .
Рисунок 2.12 - Піраміда, що побудована на векторах , , .
Обчислимо мішаний добуток одержаних векторів: . Отже, об’єм піраміди :
.
Для знаходження висоти обчислимо спочатку площу грані , як модуля векторного добутку векторів і :
,
.
Отже, площа трикутника дорівнює . Тоді з відомої формули маємо , звідки одержимо .
Пряма на площині
Розглянемо найпростішу лінію на площині – пряму. Існують різні форми запису рівняння прямої лінії на площині.
Нехай − пряма лінія на координатній площині. , − фіксована точка на , - ненульовий вектор , перпендикулярний до . Його називають нормальним вектором прямої.
Завдання точки і вектора повністю визначає пряму і таким чином можна задати будь-яку пряму лінію на площині. Довільна точка буде належати прямій тоді і тільки тоді, коли вектори і будуть взаємно перпендикулярними (рис. 2.13).
|
|
Рисунок 2.13 - Завдання прямої на площині.
Для цього, в свою чергу, необхідно і достатньо, щоб скалярний добуток цих векторів дорівнював нулю
. (2.13)
Оскільки , то можна виразити скалярний добуток через координати множників:
. (2.14)
Рівняння (2.14) є рівнянням прямої на площині в координатній формі. Відношення (2.14) називають ще рівнянням прямої, що проходить через задану точку в заданому напрямку.
Відношення , (2.15) де , визначає загальне рівняння прямої на площині. |
Термін «загальне» пояснюють тим, що довільна пряма на площині може бути заданою рівнянням першого степеня відносно змінних і (при цьому коефіцієнти і не дорівнюють нулю одночасно, бо нормальний вектор прямої не нульовий).
Пряма лінія на площині – це геометричне місце точок площини, координати яких задовольняють рівнянню першої степені відносно і . |
Будь-яка пряма на площині визначається рівнянням першого ступеня відносно і . Будь-якому рівнянню першого ступеня відносно і відповідає пряма лінія в декартовій системі координат .
|
|
Відмітимо характерні випадки загального рівняння прямої, коли деякі коефіцієнти дорівнюють нулю.
1) | Нехай , тоді рівняння (2.15) має вигляд: де . Всі точки прямої мають однакову ординату, тобто пряма паралельна осі абсцис . |
2) | Нехай , тоді . Пряма співпадає з віссю . |
3) | Нехай , тоді рівняння (2.15) має вигляд: , де . Всі точки прямої мають однакову абсцису, тому пряма паралельна осі ординат . |
4) | Нехай , тоді . Пряма співпадає з віссю . |
5) | Нехай , тоді пряма незалежно від значень і проходить через початок координат т. . |
Нехай . Розв’яжемо рівняння (2.15) відносно змінної :
,
або
. (2.16)
Рівняння (2.16) називають рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом і початковою ординатою. |
Зміст коефіцієнтів у (2.16):
‑ кутовий коефіцієнт прямої, − кут нахилу прямої до . | |
− ордината точки перетину прямої з віссю , початкова ордината прямої (рис. 2.14). |
Рисунок 2.14 - Пряма з кутовим коефіцієнтом
|
|
Рівняння (2.17) називають рівнянням прямої, яка проходить через задану точку в заданому напрямку. |
При фіксованій точці і різних значеннях це рівняння дає множину прямих, яку називають пучком прямих з центром в точці . Але тільки одну пряму з всіх, які проходять через , а саме пряму, перпендикулярну до осі абсцис, не можна визначити таким рівнянням. Її рівнянням буде .
Нехай потрібно скласти рівняння прямої, що проходить через дві задані точки і (вважаємо, що , ).
Знайдемо кутовий коефіцієнт цієї прямої, для чого обчислимо тангенс кута, який утворює відрізок з віссю (рис.2.15)
. (2.18)
Рисунок 2.15 - Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки
Підставимо вираз (2.18) у відношення (2.17) і запишемо останнє рівняння в симетричній формі:
. (2.19)
Рівняння (2.19) називають рівнянням прямої, яка проходить через дві задані точки. |
Нехай пряма відсікає на осі абсцис відрізок , а на осі ординат – відрізок (рис. 2.16), тоді шукана пряма проходить через точки і .
Рисунок 2.16. - Рівняння прямої у відрізках на осях
Підставимо координати цих точок у рівняння (2.19) і одержимо:
. (2.20)
Рівняння (2.20) називають рівнянням прямої у відрізках на осях. Тут величини і − це довжини, які взяли з належними знаками, відрізків, що пряма відсікає від осей координат. |
Нехай прямі і задано рівняннями:
, .
Тоді вектор буде нормальним до , а вектор буде нормальним до .
Якщо прямі і непаралельні, то кут між нормальними векторами і дорівнює одному з кутів, створених прямими і .
З формули (2.6) маємо:
. (2.21)
Якщо , то або .
Часто зручнішою виявляється формула, яка пов’язує тангенс кута між двома прямими через їхні коефіцієнти і :
(2.22)
Приклад 2.8. | Знайти кут між прямими і . |
Розв’язання. За формулою (2.21) одержимо:
.
Отже, .
Дата добавления: 2019-02-13; просмотров: 287; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!