Основні властивості множення матриці на число
1) | ; |
2) | . |
За правилом множення матриці на число індексують економічні показники, приводячи їх до порівнянного виду. Наприклад, щоб виразити запаси тканин в порівнянних цінах, всі значення множать на індекс цін.
Розмірність матриці при множенні її на число не змінюється.
Наприклад, якщо , то .
2. | Додавання та віднімання матриць |
Щоб додати (відняти) дві матриці одного порядку, необхідно додати (відняти) всі відповідні елементи цих матриць (елементи з однаковими індексами): . |
Основні властивості додавання та віднімання матриць
1) | ; |
2) | ; |
3) | ; |
4) | ; |
5) | ; |
6) | . |
Наприклад, для матриць і розмірності сума та різниця мають вид:
, .
За допомогою правила додавання матриць формують різноманітні накопичувані відомості та таблиці.
3. | Множення матриць |
Матрицю можна помножити на матрицю і обчислити добуток матриць тільки у випадку узгодженості цих матриць.
Матрицю називають узгодженою з матрицею , якщо кількість стовпців матриці дорівнює кількості рядків матриці . |
Наприклад, матриці і є узгодженими тому, що матриця містить три стовпці, а матриця ‑ три рядки.
Зауваження. | Узгодженість матриці з матрицею не передбачає виконання умови узгодженості матриці з матрицею . |
Таким чином, перемножити дві матриці можна тільки тоді, коли кількість стовпців першої матриці дорівнює кількості рядків другої. Узгодження розмірностей матриць-множників і матриці добутку можна подати за допомогою наступної схеми:
|
|
Отже, в результаті множення матриці на матрицю одержуємо матрицю , кількість рядків в якій дорівнює кількості рядків матриці , а кількість стовпців ‑ кількості стовпців матриці , тобто матриця має розмірність .
Якщо перемножуються квадратні матриці і однакової розмірності, то їх добуток є матрицею тієї ж розмірності.
Щоб знайти елемент добутку , який міститься в -му рядку і -му стовпці, необхідно знайти суму добутків елементів -го рядка матриці на елементи -го стовпця матриці : . |
Основні властивості множення матриць
1) | ; |
2) | , ; |
3) | , ; |
4) | ; |
5) | ; |
6) | ; |
7) | . |
Приклад 1.1. | Перевірити узгодженість і знайти добуток матриць і , якщо , . |
Розв’язання. Розмірності матриць-множників: ‑ , ‑ . Вони визначають виконання умови узгодженості матриці з матрицею . Тобто добуток існує і має розмірність . Проведемо обчислення добутку матриць і :
|
|
Зауважимо, що у даному випадку не існує, бо матриця не є узгодженою з матрицею .
Приклад 1.2. | Знайти добутки та матриці-рядка і матриці-стовпця . |
Розв’язання. Очевидно, що матриця узгоджена з матрицею , і навпаки матриця є узгодженою з матрицею .
;
.
Отже, у першому випадку добуток є матрицею розмірності , а у другому - це матриця порядку , тобто скалярна величина.
Зауваження. | Добуток двох ненульових матриць може дорівнювати нульовій матриці, тобто з того, що , не випливає, що , або . |
Наприклад, , , але .
Для знаходження цілого додатного степеня квадратної матриці слід знайти добуток матриць : . |
Наприклад, для обчислення , де потрібно знайти добуток .
Зауваження. | Операція піднесення до степеня визначається тільки для квадратних матриць. |
4. | Транспонування матриці |
Щоб транспонувати матрицю , треба поміняти місцями її рядки зі стовпцями. Транспоновану матрицю позначають символом . Якщо вихідна матриця має розмірність , то розмірність транспонованої матриці буде . |
Основні властивості транспонування матриці
1) | ; |
2) | , якщо − діагональна; |
3) | ; |
4) | . |
Наприклад, якщо , то .
|
|
Приклад 1.3. | Для матриць , , знайти . |
Розв’язання. Запишемо транспоновану матрицю . Тоді
.
5. | Знаходження оберненої матриці |
Матрицю , яка задовольняє співвідношенням: , , (1.1) називають оберненою матрицею до матриці . |
Зауваження. | Зрозуміло, що матриця повинна бути квадратною, щоб її можна було зліва та справа помножити на . |
Дата добавления: 2019-02-13; просмотров: 224; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!