Взаимодействие волн с различными элементами гидросистемы

Отражение волны от упругого элемента гидросистемы

Пусть в конце трубопровода установлена небольшая емкость, полностью или частично заполненная рабочей жидкостью, рис. 3.3.

Пусть объем емкости равен W₀, приведенный модуль упругости E₀

Выясним закономерности отражения волны F от емкости, считая константами W₀ и Е₀.

Рис. 3.3. Отражение волн от концевой емкости

Уравнение сохранения массы для концевой емкости запишется в виде

или, используя определение модуля упругости,

Давление в емкости и в сечении В трубопровода считаем одинаковыми.

Обозначим давление в сечении В трубопровода до момента прихода волны F к данному сечению (то есть при t < 0) через р₀, а скорость жидкости – через w₀. При этом w₀ = 0, так как узел тупиковый.

В соответствии с волновыми уравнениями можем записать

Подставляя в , получим

где Т – постоянная времени, выражаемая формулой

Интегрируя , получим выражение локальной (в сечении В) волновой функции для отраженной волны G в зависимости от волновой функции пришедшей (прямой) волны F и постоянной времени Т:

В частном случае, когда прямая волна несет ступенчатое изменение давления , выражение упрощается

Анализируя полученный результат, прежде всего обратим внимание на два предельных случая: отражение волны от бесконечно большого объема (W₀ ® ¥) и отражение от жесткой стенки (W₀ ® 0).

В первом случае постоянная времени Т ® ¥. Тогда, в соответствии с

Таким образом, большой резервуар или граница потока с постоянным давлением отражает волны, изменяя знак волновой функции на противоположный и сохраняя ее абсолютное значение. Так, например, волна сжатия отразится волной расширения.

Рассмотрим пример. Труба, заполненная жидкостью, имеет открытый в атмосферу конец, рис. 3.4, а. Пусть в сторону открытого конца распространяется волна F, вызывающая повышение давления в жидкости слой за слоем по мере ее продвижения. Последнее повышение давления может наблюдаться только предпоследнего слоя, а последний (предполагается очень тонкий) слой сдвинется под действием перепада давлений в атмосферу. Это перемещение последнего слоя будет сопровождаться понижением давления на его границе с предпоследним слоем, что вызовет перемещение предпоследнего слоя и т. д. Видим, что с приходом волны сжатия F к свободной поверхности возникает новая волна G, которая вызывает расширение жидкости в сторону свободной поверхности и связанное с ним понижение давления, которое по абсолютной величине равно повышению давления в волне F, так как давление на свободной поверхности неизменно.

Рис. 3.4. Отражение волны от большого объема и жесткой преграды

В другом предельном случае (жесткой преграды) Т ® 0. Из следует, что в этом случае

Таким образом, волны отражаются от жесткой преграды, сохраняя величину и знак волновой функции. То есть волны сжатия отражаются волнами сжатия и наоборот волны расширения – волнами расширения.

На рис. 3.4, б и 3.4, в показана интерференция первичных и отраженных волн вблизи большого резервуара и заглушенного конца трубопровода. В первом случае изменения давления, вызываемые обеими волнами, полностью компенсируются, а во втором – складываются. То есть в ходе волнового процесса большая емкость поддерживает давление стабильным, а тупиковый конец – усиливает изменение давления.

В общем случае емкости конечного размера, процесс отражения волны является нестационарным. В начале (t ® 0) отражение происходит как от большой емкости , а с течением времени оно изменяется и при t ® ¥ становится таким, как от жесткой преграды . Продолжительность переходного процесса зависит от постоянной времени Т. С уменьшением Т время переходного процесса сокращается, см. рис.3.3, в.

Общее выражение для характеристической функции отраженной волны при ступенчатой прямой волне получаем из , вспоминая свойство волновых функций

где F_В = Dр – локальное значение характеристической функции пришедшей волны. На рис. 3.3 показано изменение давления и скорости потока вдоль трубопровода, вызванное отраженной волной в фиксированный момент времени, когда фронт волны достиг сечения с координатой х.

На интенсивность изменения давления и скорости вдоль трубопровода, также как и на интенсивность изменения этих параметров по времени в любом фиксированном сечении существенно влияет постоянная времени. Чем меньше T, тем интенсивнее изменяются параметры.

Рассмотрим теперь отражение от емкости гармонической падающей волны, у которой

Вычислим, используя интеграл, входящий в выражение :

Тогда

Выражение в квадратных скобках можно представить в виде синуса суммы двух углов, положив

где

С учетом этих преобразований имеем

Первое слагаемое в правой части характеризует стационарные колебания, вызванные отраженной волной при . Второе слагаемое характеризует искажение этих колебаний в начальный (переходный) период отражения волны. Видно, что время переходного процесса тем меньше, чем меньше Т.

Сравнивая колебания давления в прямой и отраженной волнах видим, что глухая (непроточная) емкость не изменяет амплитуды и частоты стационарных колебаний, а изменяет лишь фазу колебаний. Так как Dj < 0, то колебания в отраженной волне запаздывают по фазе от колебаний в прямой волне. Это запаздывание растет с увеличением частоты.

Рассмотрим частные случаи отражения гармонической волны: от большого резервуара и от жесткой стенки. Если емкость имеет большой объем тогда . При этом Dj ® p и, следовательно, . Если концевым элементом является жесткая стенка, то и . При этом Dj ® 0. Следовательно, .

Таким образом, отражение волн, несущих гармонические колебания давления от жесткой стенки не вызывает изменения амплитуды, частоты и фазы, а отражение от большого резервуара сопровождается изменением фазы на с сохранением частоты и амплитуды.

Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 191; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!