Вычисление удлинений и перемещений

Рассмотрим прямой стержень, работающий на растяжение. Пусть имеется эпюра нормальных напряжений, построенная для этого стержня. Вырежем элемент (рис. 2.10) бесконечно малой длины dx и найдем его абсолютное удлинение.

Рис 2.10. К определению удлинений и перемещений

 

Пренебрегая изменением напряжения по длине элемента, используя первое из выражений (2.9) и закон Гука (2.14), можно записать относительную продольную деформацию малого элемента:

 

Абсолютное удлинение равно

 

Интегрируя это выражение по длине стержня, при условии, что модуль упругости Е не изменяется (Е = const), получим, что его абсолютное удлинение равно площади эпюры нормальных напряжений, деленной на модуль упругости.

 

(2.15)

 

Если s = const по длине стержня (это возможно, когда N = const), получим:

 

(2.16)

 

Тогда, для прямого стержня, при постоянной эпюре продольных сил и постоянном модуле упругости имеем:

 

(2.17)

 

Произведение ЕА называется жесткостью при растяжении и сжатии и имеет размерность кН, так как модуль упругости можно выразить в кН/см², а площадь поперечного сечения в см². Чем больше жесткость, тем меньше удлинение.

Абсолютное удлинение будет положительным, если происходит растяжение стержня и отрицательным при сжатии.

Перемещение какой-то точки в пространстве имеет знак «плюс», если оно происходит в направлении соответствующей оси координат. Так, для стержня на рис. 2.10, очевидно, что перемещение точки А, которое обозначено u_A по величине будет равно удлинению стержня, а знак его будет положительным. Если бы ось х была бы ориентирована вниз, то оно было бы отрицательным. Также очевидно, что перемещение точки O в жесткой заделке будет равно нулю.

 

 

Механические свойства материалов

Одной из основных задач строительного проектирования является расчет на прочность, заключающийся в сопоставлении наибольших напряжений в конструкции с предельными значениями, которые материал выдерживает, не разрушаясь.

Для определения этих предельных значений напряжений проводят испытания материалов в лаборатории.

 

Все строительные материалы можно условно разделить на две группы:

1. Пластичные материалы (малоуглеродистая сталь, медь, алюминий, свинец и др.).

2. Хрупкие материалы (стекло, чугун, инструментальная сталь, бетон, кирпич и др.).

 

Пластичные материалы разрушаются в течение достаточно длительного времени после больших деформаций (до 25% от длины стержня).

Хрупкие материалы разрушаются очень быстро (практически, внезапно) при очень малых деформациях (до 5% от длины стержня).

Это деление материалов достаточно условно, так как многие материалы в разных условиях деформирования ведут себя по-разному, т.е. в одних случаях как пластичные, в других – как хрупкие. Например, при значительных отрицательных температурах даже стальные конструкции могут разрушаться по хрупкому сценарию.

 

Диаграммы напряжений при растяжении пластичных материалов. Типичным представителем пластичных материалов является малоуглеродистая сталь.

Стандартный цилиндрический образец (рис. 2.11) устанавливают в захваты разрывной машины и подвергают растяжению, постепенно увеличивая силу F, которую измеряют с помощью динамометра.

Рис. 2.11. Диаграмма напряжений при растяжении малоуглеродистой стали

 

Средняя часть образца, имеющая постоянную площадь поперечного сечении А₀, называется рабочим участком. Проведя на рабочем участке две горизонтальные метки на расстоянии l₀, в процессе опыта измеряют расстояние l. Диаграммой растяжения называют график в осях Dl~F. Диаграмма растяжения обычно не применяется для изучения свойств материалов, так как она характеризует только поведение данного образца, а не материала, под нагрузкой. Более характерной является диаграмма напряжений при растяжении, которая построена в осях s~e. По известным значениям F и l вычисляют напряжения и деформации по формулам:

; .

По этой диаграмме можно судить о величинах, которые называются механическими характеристиками и которые используются в практических расчетах.

Диаграмма напряжений при растяжении малоуглеродистой стали показана на рис. 2.11. На этой диаграмме можно отметить характерные точки и участки.

На участке О–1 диаграмма имеет линейный характер (линейная зона), т.е. здесь напряжения пропорциональны деформациям. На этом участке диаграмма описывается законом Гука . Тангенс угла наклона этого участка a соответствует модулю упругости. Напряжение s_пц – предел пропорциональности, соответствует концу линейного участка – точке 1.

Далее диаграмма начинает искривляться. Участок О–2 можно назвать упругой зоной. Упругая зона включает в себя и линейную зону диаграммы. Конец упругой зоны (точка 2) соответствует напряжению s_у – пределу упругости. Если напряжения меньше предела упругости, то при разгрузке диаграмма s~e возвращается в точку О, т.е. повторяет диаграмму нагружения. Это и характеризует свойство упругости – исчезновение деформаций после разгрузки.

Далее диаграмма переходит в горизонтальный участок 3–4, который называетсяплощадкой текучести. На этом участке материал как бы течет, в образце возникают пластические деформации, которые увеличиваются при постоянном напряжении. Напряжение, соответствующее площадке текучести, называетсяσ_т– предел текучести.

После площадки текучести, на участке 4–5 напряжения снова начинают расти до максимального значения в точке 5. Этот участок называется зоной упрочнения. Напряжение, соответствующее максимальному напряжению, которое выдерживает материал данного образца, обозначается s_в или s_пч и называется временным сопротивлением (s_в) или пределом прочности (s_пч). Эти два термина полностью эквивалентны.

Далее диаграмма снижается вплоть до точки К, которая соответствует моменту разрушения (разрыву) образца. Напряжение при разрывеобозначаетсяs_разр.

При построении диаграммы напряжений при растяжении напряжения вычисляются по формуле σ = F/А₀, где А₀ – начальная площадь поперечного сечения образца, и эти напряжения называются условными. Сама диаграмма, построенная по этой формуле, также называется условной(она показана жирной линией О–1–2–3–4–5–K). В действительности площадь поперечного сечения в процессе растяжения образца уменьшается. Сначала это уменьшение, обусловленное коэффициентом Пуассона, небольшое, а перед разрушением (на участке 5–K) в наиболее ослабленном месте образца происходит резкое уменьшение поперечного сечения и образуется так называемая шейка (рис. 4.11), имеющая диаметр d_ш. Площадь сечения шейки А_ш значительно меньше начальной площади А₀. Разрушение происходит в области шейки по неровной поверхности.

Если учитывать истинную площадь сечения А, а расчеты производить по формуле σ = F/А, то можно построить так называемую истинную диаграмму напряжений при растяжении (обозначена на рис. 2.11 пунктирной линией, расположенной выше условной диаграммы и заканчивающейся в точке К′). Истинное напряжение при разрыве s_к, которое называют сопротивлением разрушению, соответствует максимальной ординате истинной диаграммы. Его можно получить по формуле σ_к = F/А_ш, где А_ш = (pd_ш²/4).

В процессе опыта достаточно трудно измерить истинную площадь А, с чем и связано построение диаграммы с использованием условных напряжений. Следует добавить, что при образовании шейки резкое уменьшение площади сечения приводит к непроизвольному уменьшению растягивающей силы F, а следовательно, и условных напряжений, в то время как на истинной диаграмме наибольшие напряжения соответствуют моменту разрушения. В связи с тем, что при проведении подобных опытов размеры поперечного сечения не измеряются, в практических расчетах используют условную диаграмму.

Необходимо более подробно остановиться на деформациях, возникающих в стержне. До напряжения s_у, как было отмечено, в стержне возникают толькоупругие деформации, называемые также обратимыми(исчезающими при разгрузке). При напряжениях, больших s_у, возникают такжепластические деформации (необратимые), которые при разгрузке образца не исчезают. Таким образом, полная деформация может быть выражена формулой

 

e = eе + eр ,

(2.18)

 

где: e_е – упругие деформации (е – от английского слова elastic – упругий), e_р – пластические (от английского слова plastic – пластический).

Величину деформаций в любой момент времени можно определить по диаграмме напряжений при растяжении. Разгрузка образца (на диаграмме она начинается с точки С) происходит по прямой СМ, параллельной отрезку О-1. При разгрузке образца исчезают только упругие деформации. Диаграмма разгрузки имеет линейный характер, при этом выполняется закон Гука. Опустив из точки С перпендикуляр на ось e, получим величину полной деформации e (отрезок ОМ ¢). По аналогии с (2.18) ее можно записать в виде

 

e = eе + eост.

(2.19)

 

Здесь e_ост – величина пластической деформации, которая после полной разгрузкиназывается остаточной деформацией. Остаточную деформацию в момент разрыва легко измерить после опыта, совместив две части образца. Также, измерив диаметр шейки d_ш после разрыва образца, можно оценить остаточные поперечные деформации.

Следует отметить, что повторное нагружение образца после полной разгрузки будет происходить по той же прямой МС. Сталь после разгрузки с напряжений, бóльших, чем предел упругости, приобретает новые свойства. Она становится более хрупкой. Ее диаграмма будет представлена кривой М–С–5–К. Площадка текучести исчезает. Пределы пропорциональности и упругости значительно вырастают (они соответствуют ординате точки С).

Растяжение материала с последующей разгрузкой называется наклепом и используется в технике. При этом повышаются упругие свойства материала. Для придания упругих свойств листовой меди ее в холодном состоянии прокатывают на валках. Электрические провода подвергают предварительной вытяжке, с тем чтобы не было остаточных удлинений в дальнейшем. В ряде случаев наклеп оказывается нежелательным. Так, при пробивке отверстий в металле материал вблизи отверстий подвергается наклепу и изменяет свои свойства, что может привести к его разрушению по хрупкой схеме.

Малоуглеродистая сталь относится к пластичным материалам. Также пластичными свойствами обладают и другие металлы (легированная сталь, медь, алюминий и его сплавы и др.), однако диаграммы напряжений при растяжении для них могут существенно отличаться от диаграммы для малоуглеродистой стали. В диаграммах для таких пластичных материалов (рис. 2.12) может не быть явно выраженного упругого участка, может также отсутствовать площадка текучести. Для таких материалов вводится условный предел текучести s_0,2, соответствующий остаточной деформации, равной 0,2% (e_ост = 0,002).

Ниже, при рассмотрении расчетов на прочность, будет отмечено, что при проектировании конструкций из пластичных материалов, как правило, не допускают превышения максимальными напряжениями предела текучести s_т или соответственно s_0,2, эти напряжения называются опасными и обозначаются s_о.

 

Диаграммы напряжений при растяжении хрупких материалов. Напомним, что хрупкими материалами называют такие материалы, которые разрушаются при очень малых деформациях за короткое время. К хрупким материалам относятся чугун, стекло, некоторые минералы и др. У хрупких материаловотсутствуют пластические деформации или они достаточно малы.

Рис. 2.12. Диаграмма напряжений при растяжении пластичных материалов без площадки текучести	Рис. 2.13. Диаграмма напряжений при растяжении хрупких материалов (чугун)

 

Диаграмма напряжений при растяжении чугуна показана на рис. 2.13. Эта диаграмма имеет слабо выраженную нелинейность, после разгрузки остаточные деформации не превышают 1%. Диаграммы для бетона и цементного камня, похожие на диаграмму напряжений для чугуна, не имеют линейного участка (искривление диаграмм начинается практически от нуля). Для хрупких материалов характерным напряжением является предел прочности s_пч, который при расчетах на прочность и считается опасным напряжением s_о.Можно считать, что разрушение происходит при достижении s_пч, т.е. s_разр » s_пч.Что касается истинной диаграммы, то она почти совпадает с условной диаграммой, так как шейки перед разрушением не наблюдается, а влияние коэффициента Пуассона на поперечные размеры оказывается несущественным ввиду очень малых деформаций до разрушения.

 

Диаграммы напряжений при сжатии пластичных и хрупких материалов. Механические свойства материалов при сжатии определяются при испытании цилиндрических (для металлов) или кубических и призматических (для бетона, дерева и др.) образцов. При этом отношение длины образца к его поперечным размерам выбирается, как правило, небольшим, чтобы не происходила потеря устойчивости стержня, при которой образец искривляется.

Сжимаемый цилиндрический образец, выполненный из пластичного материала, каким является малоуглеродистая сталь, становится похожим на бочку, укорачиваясь в продольном направлении и расширяясь в поперечном. Такой неравномерный характер поперечных деформаций объясняется наличием сил трения на опорных участках, которые препятствуют расширению вблизи нагруженных торцов образца (рис. 2.14,а).

Если снять силы трения по торцам образца, например, при помощи смазки, то стальной образец сохраняет цилиндрическую форму.

При испытаниях хрупких материалов на сжатие разрушение может происходить по-разному.

Разрушение чугунного образца характеризуется его раскалыванием по площадке, наклоненной к направлению сжатия примерно под углом 45° (рис. 4.14,б). Этот факт позволяет вспомнить рассмотренные ранее напряжения на наклонных площадках. Там было показано, что наибольшие касательные напряжения при одноосном растяжении (сжатии) возникают именно на этих площадках. Таким образом, можно сделать вывод, что для чугуна опасными являются не нормальные, а касательные напряжения.

Рис. 2.14. Разрушение стального и чугунного образцов при сжатии	Рис. 2.15. Разрушение бетонного образца при сжатии

 

Разрушение кубического образца, сделанного из цементного раствора или бетона (рис. 2.15), происходит по-разному. Тип разрушения, представленный на рис. 4.15, а, характерен для образцов, давление на которые происходило без уменьшения сил трения по торцам. Если снять или даже уменьшить касательные напряжения по торцам путем смазки, то разрушение образца будет представлено многочисленными продольными трещинами (рис. 2.15, б).

Напряжения сжатия, при которых происходит разрушение образца цементного камня или бетона, называют прочностью (различают кубиковую или призменную прочность, в зависимости от того, какой образец испытывался).

Диаграммы напряжения при растяжении и сжатии пластичных материалов примерно одинаковые. На рис. 2.16 представлены обе эти диаграммы для пластичной малоуглеродистой стали. До площадки текучести (которая, как правило, слабо выражена при сжатии) значения механических характеристик практически одинаковые. При бóльших напряжениях диаграммы напряжений при сжатии и растяжении начинают различаться (часть диаграммы при сжатии, которая отличается от диаграммы при растяжении, показана пунктиром).

Рис. 2.16. К сравнению диаграмм растяжения и сжатия пластичных материалов	Рис. 2.17. К сравнению диаграмм растяжения и сжатия хрупких материалов

 

Начало явно выраженных пластических деформаций начинается с предела текучести при растяжении s_т^(р), примерно равного пределу текучести при сжатии s_т^(с), т.е. s_т^(р) = s_т^(с) = s_т. Одинаковые углы наклона линейных участков указывают на равенство модуля упругости Е при растяжении и сжатии.

Для пластичных материалов, которые практически одинаково работают на растяжение и сжатие, за величину опасного напряжения σ_о принимают предел текучести:σ_о= σ_Т .

На рис. 2.17 совмещены диаграммы напряжений при растяжении и сжатии для такого хрупкого материала, каким является бетон. Основной отличительной особенностью хрупких материалов является тот факт, что предел прочности при сжатии s_пч^(с) для хрупких материалов обычно значительно превышает предел прочности при растяжении s_пч^(р). Так, например, если цемент маркируется М «300» (марка цемента «300»), это означает, что его прочность при сжатии (при испытании стандартных образцов) составляет 300 кГс/см² (практически, это и есть предел прочности при сжатии), что равно ~30МПа. Прочность при растяжении образца, выполненного из такого цемента, будет составлять примерно 1–2 МПа.

Для хрупких материалов, которые неодинаково работают на растяжение и сжатие, в качестве опасного напряжения σ_о выбирают либо предел прочности при сжатии, либо предел прочности при растяжении, в зависимости от знака нормального напряжения, которое возникает в поперечном сечении стержня.

Диаграммы напряжений при растяжении пластичных материалов (медь, алюминий), для которых основной механической характеристикой является условный предел текучести s_0,2 (рис. 2.12), практически совпадают с их диаграммами напряжений при сжатии, т.е. такие материалы также одинаково работают на растяжение и сжатие.

В табл. 2.2 приведены ориентировочные значения прочностных характеристик для некоторых материалов.

Таблица 2.2

Прочностные характеристики строительных материалов

(примерные величины)

Материал	σТ, МПА	σв (σпч), МПа
		растяжение	сжатие
Строительная сталь	200 – 400	300 – 500
Алюминиевые сплавы	100 – 300	200 – 400
Чугун		100 - 300	500-1000
Бетон		1–4	30-70
Кирпич		1–3	10–30
Сосна:
вдоль волокон		100-150	30-60
поперек волокон			5 – 20

 

---

Дата добавления: 2018-10-27; просмотров: 671; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!